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1、数学竞赛讲义目录第一章集合…………………………………………2第二章函数…………………………………………15§2.1函数及其性质………………………15§2.2二次函数………………………21§2.3函数迭代………………………28§2.4抽象函数………………………32第三章数列…………………………………………37§3.1等差数列与等比数列……………………37§3.2递归数列通项公式的求法………………44§3.3递推法解题………………………………48第四章三角平面向量复数………………………51第五章直线、圆、圆锥曲线………………………60第六章空间向量简单几何体………………………6
2、8第七章二项式定理与多项式………………………75第八章联赛二试选讲………………………82§8.1平几名定理、名题与竞赛题……82§8.2数学归纳法………………………99§8.3排序不等式………………………103第一章集合集合是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学的基础.它的基础性体现在：集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛中，很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的基石之一，本章主要介绍集合思想在数学竞
3、赛中出现的问题.§1.1集合的概念与运算【基础知识】一．集合的有关概念1．集合：具有某些共同属性的对象的全体，称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的元素.2．集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.3．集合的分类：无限集、有限集、空集.4.集合间的关系：二．集合的运算1．交集、并集、补集和差集差集：记A、B是两个集合，则所有属于A且不属于B的元素构成的集合记作第58页.即且.2.集合的运算性质(1),(幂等律);(2),(交换律);(3),(结合律);(4),(分配律);(5),(吸收律);(6)(对合律);(7),(摩根律)(8),.3.集合的相等(1)两个集合中元
4、素相同,即两个集合中各元素对应相等;(2)利用定义,证明两个集合互为子集;(3)若用描述法表示集合,则两个集合的属性能够相互推出(互为充要条件),即等价;(4)对于有限个元素的集合,则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集合相等的必要条件.【典例精析】【例1】在集合中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之和是.〖分析〗已知的所有的子集共有个.而对于,显然中包含的子集与集合的子集个数相等.这就说明在集合的所有子集中一共出现次,即对所有的求和,可得【解】集合的所有子集的元素之和为=〖说明〗本题的关键在于得出中包含的子集与集合的子集个数相等.这种一
5、一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛.【例2】已知集合且,求参数的取值范围.第58页〖分析〗首先确定集合A、B,再利用的关系进行分类讨论.【解】由已知易求得当时,,由知无解;当时,,显然无解;当时,,由解得综上知,参数的取值范围是.〖说明〗本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合B要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围.【例3】已知,集合.若,则的值是()A.5B.4C.25D.10【解】,,且及集合中元素的互异性知,即,此时应有而,从而在集合B中,由,得由(2)(3)解得,代入(1)式知也满足(1)式.〖说明〗本题主要考查集
6、合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键.【例4】已知集合.若,求……+的值.〖分析〗从集合A=B的关系入手,则易于解决.第58页【解】,,根据元素的互异性,由B知.且,,故只有,从而又由及,得所以或,其中与元素的互异性矛盾!所以代入得:……+=()+2+()+2+……+()+2=0.〖说明〗本题是例4的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本题利用的是集合相等的必要条件,即两个集合相等,则两个集合中,各元素之和、各元素之积及元素个数相等.这是解决本题的关键.【例5】已
7、知A为有限集,且,满足集合A中的所有元素之和与所有元素之积相等,写出所有这样的集合A.【解】设集合A=且,由,,得,即或(事实上,当时,有.当时,,而当时,,由,解得综上可知,〖说明〗本题根据集合中元素之间的关系找到等式,从而求得集合A.在解决问题时,应注意分析题设条件中所给出的信息,根据条件建立方程或不等式进行求解.【例6】已知集合,若,求实数的取值组成的集合A.【解】,设.①当,即时,,满足;第58页②当,即或时,若,则,不满足,故舍去;若时,则,满足.③当时,满足等价于方程的根介于1和2之间.即.综合①②③得
