碰撞与冲击动力学.ppt

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1、二OO五年二月碰撞与冲击动力学ImpactandShockDynamics3-3弹性杆的共轴碰撞两杆的共轴碰撞是应力波产生并发生相互作用的典型问题，本节先对半无限长杆之间的碰撞问题进行求解，包括横截面相等和不等两种情况，再针对有限长杆的问题进行求解。3-3-1两半无限长杆的共轴碰撞[例3-3-1]如图，两截面完全相同的半无限长杆，其声阻抗分别为和，撞击前杆中应力均为零且无初始应变，两杆分别以速度v1、v2（>v1）发生碰撞（如图所示），画出波系图、图，求解两杆碰撞后杆中的质点速度和应力解值表达式，画出某一时刻的图和某质点位置的图。[解]两杆初始应力和应变为零，但初始质点速度不为零，分别为v

2、1和v2，撞击后，在两杆中分别形成了方向相反的强间断弹性波，根据碰撞界面上压力相等（等截面时应力也相等）、质点速度相等条件，两杆从碰撞面开始应力和质点速度逐渐分别由和变为。根据波的传播情况可直接画出波系图和图，波系图中设坐标原点在两杆碰撞面处。图3-3-1图3-3-2波系图中特征线OA和OB的方程分别为和。根据波阵面上的动量守恒条件，有：某一时刻的图和某质点位置的图略。讨论：（1）若v1=0，相当于对静止杆的碰撞，有（2）当两材料波阻抗相等时，此时若v1=0有若v1=-v2<0，相当于两杆发生迎面碰撞，有图3-3-3（3）若v1=0，∞，相当于弹性杆对刚体的碰撞，有图3-3-4（4）若∞，

3、相当于刚体对弹性杆的碰撞，有图3-3-5[例3-3-2]两截面面积分别为A01和A02的半无限长杆，其声阻抗分别为和，撞击前杆中应力均为零且无初始应变，两杆分别以速度v1、v2（>v1）发生碰撞（如图所示），画出波系图、图，求解两杆碰撞后杆中的质点速度和应力解值表达式，画出某一时刻的图和某质点位置的图。[解]根据碰撞界面上压力相等、质点速度相等条件，由于两杆横截面不等，故界面处速度相等但应力不相等，两杆从碰撞面开始应力和质点速度分别由和变为和。同样，根据波的传播情况可直接画出波系图和图，波系图中仍设坐标原点在两杆碰撞面处。图中所给中的对应于的情况。图3-3-6波系图中特征线OA和OB的方程

4、同前两杆截面相同时的情况，分别为和。根据波阵面上的动量守恒条件，有：某一时刻的图和某质点位置的图略。讨论：（1）当两材料波阻抗相等时，（2）若v1=0，∞，相当于弹性杆对刚体的碰撞，有图3-3-7（图中对应于A01>A02）（3）若∞，相当于刚体对弹性杆的碰撞，有图3-3-83-3-2有限长杆对半无限长杆的碰撞对于有限长杆来说，应力波传播到杆端会发生反射，反射后的波通过碰撞界面时发生反射和透射的情况与两杆的波阻抗之间的关系息息相关。本节仅讨论有限长杆对半无限长杆的碰撞，即只考虑两杆之一有杆端边界的反射问题。[例3-3-3]如图，两截面完全相同的一维长杆，其中有限长杆长为L2，声阻抗为，半无

5、限长杆声阻抗为，有限长杆以速度v2撞击静止的半无限长杆，两杆初始应力为零且无初始应变，根据两杆的波阻抗之间的关系分析撞击后应力波在杆中传播的情况，画出波系图、图，求解两杆碰撞后波系图中各区域的质点速度和应力解值表达式，画出某一时刻的图和某质点位置的图。[解]两杆撞击后，由碰撞界面处背向碰撞面方向传播一次弹性波，为压缩波。设两杆相撞时刻为时刻，当时左传播弹性波到达B2杆左端，在自由端面发生反射，向右传播二次波，为稀疏波，使杆中应力逐渐卸载为0，在时到达两杆相接触的界面，根据两杆的波阻抗关系的不同，应力波此后传播的情况会不同，下面分别讨论。（1）当时两杆波阻抗相等时（但两杆的波速可能不同），波

6、阻抗统一用表示，两杆的波速分别用C01和C02表示。从B2杆左端面向右传播的稀疏波（卸载波）在撞击面处将无反射的进行传播。依据题意可画出相应的波系图和图。图3-3-9（图中对应于）区和区由于两杆横截面积相等，满足界面处应力和质点速度相等条件，可统一用3区来表示。各区求解过程如下：1区：2区：3区：4区：或由（叠加原理）即时，B2杆从左端自由界面开始反射右传卸载波，使杆中应力和质点速度逐渐卸载到0，时卸载波传到碰撞界面，使碰撞界面处应力和质点速度卸载到0，意味着两杆的撞击结束。归纳：对于4区这种向自由界面传播并发生反射形成的三个区域——2、3、4区之间有这样的关系，即而类似的区域如果是向固定

7、端传播和反射，则有5区：两杆的撞击结束，B1杆左端变成自由界面，卸载波继续向B1杆中向右传播，使杆中应力变为0，则有根据前面的分析及求解，当时，两杆在时刻碰撞结束，两杆保持接触不分离，但杆中应力和质点速度都变为0。由X-t图可以看出，B1杆中有先行的压缩波和随后的卸载拉伸波，两波间距始终不变，在时刻后B1杆中的应力波形为一矩形波，通常称之为应力脉冲，应力脉冲的长度（对应于两波的间距）由下图可得为。图3-3-10当，，即B