平面问题有限元分析.ppt

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1、有限元分析平面问题的有限单元法第三章平面问题的有限单元法3-2、有限单元法的计算步骤3-3、单元位移函数3-4、单元载荷移置3-5、单元应力矩阵3-6、单元刚度矩阵3-7、单元刚度矩阵的物理意义及其性质3-8、整体分析3-9、整体刚度矩阵的形成3-10、支承条件的处理3-11、整体刚度矩阵的特点2-2有限单元法的计算步骤弹性力学平面问题的有限单元法包括三个主要步骤：1、离散化2、单元分析3、单元综合2-2有限单元法的计算步骤1、离散化有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由有限个单元组成的离散体。对于平面问题，最简单，因而最常用的单元

2、是三角形单元。这些单元在结点处用铰相连，荷载也移置到结点上，成为结点荷载。在结点位移或其某一分量可以不计之处，就在结点上安置一个铰支座或相应的连杆支座。5.相邻单元的尺寸尽可能接近。6.结点所连接的单元个数尽可能一致。宜不宜结点的选择和单元划分原则1.集中力作用点、分布力突变点、支承点应选作结点。2.不同厚度、不同材料的部分不应划在同一个单元。3.应力变化大处单元应密集一些。结点的多少与疏密要考虑计算机的容量和计算精度。4.单元边界的边长之比应尽可能靠近1。宜不宜有限元分析应注意的问题7、充分利用结构的对称性PPPPP2-2有限单元法的计算步骤2、单元分析对三角形单元，建立结点位

3、移与结点力之间的转换关系。结点位移结点力2-2有限单元法的计算步骤2、单元分析-----单元刚度矩阵取结点位移作基本未知量。由结点位移求结点力：其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的就是要求出单元刚度矩阵。单元分析的步骤可表示如下：2-2有限单元法的计算步骤3、单元综合将离散化了的各个单元合成整体结构，利用结点平衡方程求出结点位移。在位移法中，主要的任务是求出基本未知量---结点位移。为此需要建立结点的平衡方程。2-2有限单元法的计算步骤3、单元综合i点总的结点力应为：根据结点的平衡条件，得单元e的结点力，可按式(2-2)用结点位移表示，代入得到用结点位移表示的平衡方

4、程。每个可动结点有两个未知位移，有两个平衡方程，所以方程总数与未知位移总数相等，可以求出所有的结点位移。单元综合的目的就是要求出结点位移。结点位移求出后，可进一步求出各单元的应力。2-3单元位移函数如果弹性体的位移分量是座标的已知函数，则可用几何方程求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续体，内部各点的位移变化情况很难用一个简单函数来描绘。有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化情况可近似地用简单函数来描绘。对每个单元，可以假定一个简单函数，用它近似表示该单元的位移。这个函数称为位移函数，或称为位移模式、位移模型

5、、位移场。对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示，多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。2-2单元位移函数三结点三角形单元六个节点位移只能确定六个多项式的系数，所以平面问题的3结点三角形单元的位移函数如下，所选用的这个位移函数，将单元内部任一点的位移定为座标的线性函数，位移模式很简单。位移函数写成矩阵形式为：将水平位移分量和结点坐标代入位移函数第一式，写成矩阵形式，令则有A为三角形单元的面积。[T]的伴随矩阵为，令则同样，将垂直位移分量与结点坐标代入位移插值公式2-3单元位移函数最终确定六个待定系数2-3单元位移函数令（下

6、标i，j，m轮换）简写为[I]是单位矩阵，[N]称为形态矩阵，Ni称为位移的形态函数2-3单元位移函数选择单元位移函数时，应当保证有限元法解答的收敛性，即当网格逐渐加密时，有限元法的解答应当收敛于问题的正确解答。因此，选用的位移模式应当满足下列两方面的条件：(1)必须能反映单元的刚体位移和常量应变。6个参数到反映了三个刚体位移和三个常量应变。(2)必须保证相邻单元在公共边界处的位移连续性。(线性函数的特性)形态函数Ni具有以下性质：1)在单元结点上形态函数的值为1或为0。2）在单元中的任意一点上，三个形态函数之和等于1。用来计算三角形面积时，要注意单元结点的排列顺序，当三个结点i

7、，j，m取逆时针顺序时，当三个结点i，j，m取顺时针顺序时，图4-32-3单元位移函数作业：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵[N],应变矩阵,应力矩阵,单元刚度矩阵。2-3单元位移函数由三角形的面积2-4单元载荷移置连续弹性体离散为单元组合体时，为简化受力情况，需把弹性体承受的任意分布的载荷都向结点移置(分解)，而成为结点载荷。如果弹性体受承受的载荷全都是集中力，则将所有集中力的作用点取为结点，就不存在移置的问题，集中力就是结点载荷。但实际问题往往受有分布的面力和体力，都不可能只