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1、第二节 平面向量的分解及向量的坐标表示第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入考纲要求1．了解平面向量的基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.课前自修知识梳理一、平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，满足a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，称λ1e1＋λ2e2为e1，e2的线性组合．二、平面向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与
2、x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，因此把(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．规定：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系．三、平面向量的坐标运算1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x
3、1，y2－y1).3．若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)．四、向量的运算向量的加减法、数与向量的乘积及其各运算的坐标表示和性质，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1.平行四边形法则2．三角形法则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，向量的减法三角形法则a－b＝(x1－x2，y1－y2)a－b＝a＋(－b)，数乘向量法λa是一个向量．满足：λ>0时，λa与a同向；λ<0时，λa与a异向；λ＝0时，λa＝0λa＝(λx，λy)λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa
4、＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb，a∥b⇔a＝λb(b≠0)基础自测A．(－2，－4)B．(2,4)C．(6,10)D．(－6，－10)3．(2012·深圳市松岗中学模拟)已知向量a＝(2,3)，b＝(x，－6)共线，则x＝______________.解析：依题意有3x－2×(－6)＝0，得x＝－4.答案：－44．(2011·漳州市模拟)已知向量a＝(1，)，b＝(－2,0)，则
5、a＋b
6、＝__________.解析：∵a＋b＝(－1，)，∴
7、a＋b
8、＝＝2.答案：2考点探究考点一平面向量基本定理的应用变式探究考点二平面向量坐标的基本运算变式探究A．(－2,7
9、)B．(－6,21)C．(2，－7)D．(6，－21)考点三利用向量相等求点的坐标【例3】已知点A(1,0)，B(0,2)，C(－1，－2)，求以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．变式探究3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c＝()A．(4,6)B．(－4，－6)C．(4，－6)D．(－4,6)考点四共线向量的坐标运算【例4】平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)，请解答下列问题：(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥
10、(2b－a)，求实数k；(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且
11、d－c
12、＝，求d.点评：运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机地结合．变式探究4．(2012·北京市东城区示范校综合练习)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则等于()A．－2B．2C．－D.课时升华1．平面内任一向量a都可以分解成a＝λ1e1＋λ2e2(其中e1，e2是平面内两个不共线向量)的形式，且分解式是唯一的．平面向量基本定理是平面向量正交分解的理论依据．若向量a与两个不共线向量e1，e2共面⇔存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋
13、λ2e2.向量的坐标表示实质上是向量的代数表示，可使向量运算代数化，将数和形紧密结合起来，从而使许多几何问题的证明转化为数量运算．3．向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．4．向量的坐标表示体现了数形的紧密关系，从而可用“数”来证明“形”的问题．因此解题过程中应注意运用数形结合的思想方法.感悟高考品味高考高考预测1．设向量a＝(1，sinθ)，b＝(3sinθ，1)，且a∥b，则cos2θ等于()A．－B．－C.D.2．已知a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则
14、2a＋3b
15、等于()A.B．4C．3D．2DB感谢
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