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《高考数学总复习第四篇平面向量（必修4）第3节《平面向量的数量积及平面向量的应用》.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用[考纲展示]1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.知识链条完善考点专项突破知识链条完善把散落的知识连起来知识梳理1.向量的夹角∠AOB0°≤θ≤180°a∥b90°2.平面向量的数量积定义设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量叫做a与b的数量积,记作a·b投影叫做向量a在b方向上
2、的投影,叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度
3、a
4、与b在a的方向上的投影的乘积
5、a
6、
7、b
8、cosθ
9、a
10、cosθ
11、b
12、cosθ
13、b
14、cosθ3.向量数量积的运算律(1)a·b=.(2)(λa)·b=λ(a·b)=.(3)(a+b)·c=.b·aa·(λb)a·c+b·c4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.a·b=0x1x2+y1y2=0
15、a
16、
17、b
18、5.向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、全等、相似、长度、夹角等问题.6.平面向量在物理中
19、的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的加法和减法相似,可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量,这是力F与位移s的数量积.即W=F·s=
20、F
21、
22、s
23、cosθ(θ为F与s的夹角).对点自测1.(2018·北京延庆区一模)已知e1,e2是互相垂直的两个单位向量,a=e1+2e2,b=4e1-2e2,则()(A)a∥b(B)a⊥b(C)
24、a
25、=2
26、b
27、(D)=60°B解析:因为a·b=(e1+2e2)·(4e1-2e2)=4
28、e1
29、2+6e1·e2-4
30、e2
31、2=4+0-4=0.所以a⊥b.选B.2.(2018·湖南省永州市一模)已知a
32、=(x,1),b=(5,-3),a·b=7,则x=.解析:因为a·b=(x,1)·(5,-3)=5x-3=7.所以x=2.答案:23.已知平面向量a,b的夹角为,
33、a
34、=2,
35、b
36、=1,则
37、a+b
38、=.4.已知
39、a
40、=5,
41、b
42、=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b在向量a方向上的投影为.解析:由数量积的定义知,b在a方向上的投影为
43、b
44、cosθ=4×cos120°=-2.答案:-25.把下列结论正确的序号填在横线上.①一个向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.②两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.③由a·b=0可得a=0或b=0.④(a·b)
45、c=a(b·c).⑤两个向量的夹角的取值范围是[0,].答案:①②考点专项突破在讲练中理解知识考点一 平面向量的数量积【例1】(1)(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a,b满足
46、a
47、=1,a·b=-1,则a·(2a-b)等于()(A)4(B)3(C)2(D)0答案:(1)B答案:(2)-4(1)求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.反思归纳(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.考点二 平面向量数量积的应用(多维探究)考查角度1:平面向量
48、的模【例2】(2018·辽宁省大连八中模拟)设向量a,b满足
49、a
50、=2,
51、b
52、=
53、a+b
54、=3,则
55、a+2b
56、等于()反思归纳(2)与模有关的最值或范围问题要注意抓住模的几何意义及数形结合思想的应用.解析:因为
57、a
58、=2,
59、a-2b
60、=2,所以
61、a-2b
62、2=
63、a
64、2+4
65、b
66、2-4a·b=4+4
67、b
68、2-4
69、a
70、
71、b
72、·cos60°=4+4
73、b
74、2-4
75、b
76、=4.即
77、b
78、2-
79、b
80、=0,所以
81、b
82、=1或
83、b
84、=0(舍去).选D.考查角度2:平面向量的夹角反思归纳非零向量a与b夹角为锐角⇔a·b>0且a与b不共线;非零向量a与b夹角为钝角⇔a·b<0且a与b不共线.【跟踪训练3】已知a=
85、(1,2),b=(1,1),且a与a+λb的夹角为锐角,则实数λ的取值范围为.考查角度3:平面向量的垂直【例4】(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m等于()(A)-8(B)-6(C)6(D)8解析:a+b=(4,m-2),由(a+b)⊥b得(a+b)·b=(4,m-2)·(3,-2)=12-2m+4=0,m=8.故选D.反思归纳两向量垂直的应用:两非零向量a,b,a⊥b⇔a·b=0⇔
