高考数学总复习第五篇数列（必修5）第3节《等比数列》.ppt

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1、第3节　等比数列[考纲展示]1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.知识链条完善考点专项突破知识链条完善把散落的知识连起来知识梳理1.等比数列的相关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的,通常用字母q(q≠0)表示.符号表示为,q为常数.同一个(2)等比中项:如果三个数a,G,b成等

2、比数列,则G叫做a和b的等比中项,那么=,即G2=.公比ab2.等比数列的通项公式(1)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,q≠0,则它的通项公式an=.(2)通项公式的推广an=am·.a1qn-1qn-m4.等比数列的常见性质(3)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.(4)公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn,当公比为-1时

3、,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n不一定构成等比数列.5.等比数列的单调性当q>1,a1>0或01,a1<0或00时,{an}是递减数列;当q=1时,{an}是常数列.对点自测1.下列说法正确的是()①等比数列中没有一项为0;②等差数列不可能是等比数列;③常数列是等比数列;④公比q>1的等比数列是递增数列;⑤公比q<0的等比数列是摆动数列.(A)①②(B)①③(C)④⑤(D)①⑤D解析:①正确;等差数列2,2,2,2,…也是等比数

4、列,故②错误;常数列0,0,0,0,…不是等比数列,故③错误;等比数列-1,-2,-4,…,-2n的公比是2>1,但此数列是递减数列,故④错误;⑤正确.故选D.2.(教材改编题)等比数列{an}中,a3=12,a4=18,则a6等于()(A)27(B)36(C)(D)54C3.设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6等于()(A)31(B)32(C)63(D)64C解析:由等比数列的性质,得(S4-S2)2=S2·(S6-S4),即122=3×(S6-15),解得S6=

5、63.故选C.B5.在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=.答案:6答案:⑤6.下列正确结论的序号是.①满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.②G为a,b的等比中项⇔G2=ab.③如果数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.④如果数列{an}为等比数列,则数列{lnan}是等差数列.⑤公比q<0的数列是摆动数列.考点专项突破在讲练中理解知识考点一　等比数列基本量的运算【例1

6、】(1)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5等于()答案:(1)B(2)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=.答案:(2)-8(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.反思归纳【跟踪训练1】(1)(2018·武昌调研)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3a2+

7、2,S4=3a4+2,则a1等于()答案:(1)B(2)设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列,则an=.答案:(2)2n-1考点二　等比数列的判断与证明【例2】已知数列{an}的前n项和为Sn,在数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),且an+Sn=n.(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列;(2)求数列{bn}的通项公式.反思归纳证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法

8、只用于选择题、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.【跟踪训练2】设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*).(1)求a2,a3的值;(1)解:因为a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*),所以当n=1时,a1=2×1=2;当n=2时,a1+2a2=(a1+a2)+4,所以a2=4;当n=3时,a1+2a2+3a3=2(a1+a2+a3)+6,所以a3=8.综上,a2