利用曲线拟合研究古塔变形

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1、利用曲线拟合研究古塔变形　　摘要：本文以2013年全国大学生数学建模竞赛C题为研究背景，利用曲线拟合建立三维空间曲线数学模型研究古塔的变形问题，较为精确的得出古塔的变形情况及其趋势。本文一定程度上较为精确的给出了古塔变形定量分析情况，可为有关部门保护古塔提供支持。Abstract：Basedonthe2013nationalcollegestudents’mathematicalcontestCproblem，usingcurvefittingtoestablishthreedimensionalspacemathematicalmodeltoresearc

2、hthetowerdeformationproblem，thenwegetthedeformationsituationandtrendofthepagodamoreexactly.Thispapergivesamoreexactquantitativeanalysisofthedeformationofthepagoda，andcanprovidesupportfortherelevantdepartmentstoprotectthetower.关键词：古塔变形；曲线拟合；空间曲线Keywords：deformationoftheancientpagoda

3、；curvefitting；spacecurve中图分类号：P226+.2文献标识码：A文章编号：1006-4311（2013）33-0254-0361研究背景由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。本文以此为背景，主要结合题目附件中提供的数据，采用投影法结合曲线拟合建立三维空间中曲线的参数方程，并利用曲线在三个坐标平面的投影曲线来分析古塔的变形问题。2模型准备2.1缺失数据处理①本文采用三次样条插值的方法

4、处理题目附件中缺失数据。②附件中2009年、2011年观测数据中缺失的塔尖数据采用线性拟合处理。2.2建立三维空间直角坐标系（如图1）3模型建立与求解3.1倾斜变形分析分析题目附件所给数据发现，1986年古塔已经有倾斜现象，到2011年倾斜问题加剧。图2是四个观测期古塔中心坐标三维图。①古塔各层中心空间倾斜位移值模型：d=■（1）②古塔各层中心空间倾斜度模型：6α=■（2）结合数据，利用Matlab编程，分别计算出1986年与1996年、1996年与2009年、2009年与2011年、1986年与2011年的古塔各层中心对应倾斜距离和侧倾斜距离。以及1986

5、年一至五层、1986年五层至塔尖；1996年一至五层、1996年五层至塔尖；2009年一至五层、2009年五层至塔尖；2011年一至五层、2011年五层至塔尖的古塔中心的倾斜度。结果如表1、表2。3.2弯曲、扭曲变形分析古塔中心既发生了纵向弯曲，又发生了横向弯曲，可以认为古塔中心出现了变形情况。结合古塔中心的投影散点图，本文采用投影法以x为参数，利用曲线拟合三维空间中曲线的参数方程，并通过曲线方程在xoy，yoz，xoz平面上的投影，分别计算曲线的曲率，以此来分析古塔在四个观测期内的弯曲与变形情况。用Matlab编程，拟合可得1986年、1996年、2009

6、年、2011年的三维曲线参数方程：1986：x=xy=-1.204x■+2728x■+2.319×10■x■+8.763×10■x-1.242×10■z=-66.44x■+150700x■-1.28×10■x■+4.841×10■x-6.859×10■1996：x=xy=-1.294x■+29634x■-2.495×10■x■+9.425×10■x-1.335×10■z=-61.92x■+140400x■-1.194×10■x■+4.511×10■x-6.393×10■2009：x=xy=4.945x■-11220x■+9.541×10■x■-3.607×1

7、0■x+5.114×10■z=-619.9x■+1406000x■-1.196×10■x■+4.524×10■x-6.414×10■2011：x=xy=4.057x■-9203x■+7.829×10■x■-2.96×10■x+4.196×10■z=-505.5x■+1147000x■-9758×10■x■+369×10■x-5232×10■在xoy，yoz，xoz平面上的投影图形分别为图3、图4、图5。根据曲率公式k=■，用Matlab编程计算中心曲线在三个平面上的投影曲线曲率，结果见表4。3.3结果分析3.3.1倾斜分析6①1986年与1996年古塔各层中

8、心的倾斜位移值非常小，最大值仅为0.0106米，在x