［推荐精品］任何自然数都有两重意义.doc

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1、任何自然数都有两重意义，一是表示数最意义，即被数的物体有“多少个雹这种用來表示事物数量的自然数，称为基数。二是表示次序意义，即最后被数到的物体是“第几个"。用来表示事物次序的自然数，称为序数。正是因为自然数有这样两个方血的意义，所以自然数的理论，最常用的有两种，一种是基数理论，一种是序数理论。利用基数理论，给自然数下了这样一个定义：自然数是一切等价集合的共同特征的标记。因为一切等价集合有一个重要的共同特征就是它们的元素的个数相同。对于所有空集，它们都是等价集合，因而所有空集的共同特征也应该用一个自然数來给予“标记二可是，空集屮什么元素也没有，用什么来表示这类集合的

2、共同特征呢？1、2、3……显然不行，只能另觅。于是，数学屮由此而引进一个新的数“(T,这个“(T就是一切空集的共同特征的标记。序数理论则是将自然数的一些基木性质抽象为公理,用公理化形式来给白然数下定义即皮亚诺公理。而在皮亚诺公理屮，不论以0开始还是以1开始，实际上祁无伤数学木质。自然数的皮亚诺公理：1.0是一个自然数；2•每个自然数a都有一个后继自然数，记作S(a)；3.不存在后继为0的自然数；4•不同的自然数有不同的后继。即若aHb,则S(a)HS(b)；5.如果一个命题对自然数0成立，并且假定它对自然数n成立时，能推出它对n的后继仍成立，则原命题对所有自然数都

3、成立。［公理的严谨数学表述附于其后资料屮］附：是否把0看作自然数，不同的数学家有不同的考虑。当然，在自然数有了公理化的形式定义Z前，这个问题不可能有好的冋答。在比较现代的书屮，包括新版的中小学课木中，0被认为是自然数,这是现代数学的主流；而也不可否认,长期以來,尤其是自然数没有公理化的定义前，人们大多还是把0排除在自然数外的。自然数的公理化定义是由Peano(皮亚诺)的一组公理给出的：定义：设N是一个非空集合，而且：1)在N内存在一个特定元素，记作0；2)存在N到自身的一个映射，记作n

4、->n+,称为后继映射，使下面三条公理满足：(a)对任意neN,n+式0；(b

5、)n

6、->n+是一个单射；(a)(归纳公理)N的一个了集T如具备如下条件：i）0eT：ii）若neT,则n+eT,那么，必定有T=N.此时，称N是一个自然数系，N内的元素称为自然数.我们看自然数的定义可以知道，定义的1）决定了自然数是从0开始还是从1开始。事实上,Peano的这组公理，在初版木屮1）是从1而不是从0开始的，但后来Peano听从了Russell（罗素）的建议（如果我没记错的话），改成了以0开始。不论以0开始还是以1开始，实际上都无伤数学木质。所以定义中第1）条的选择，不同的人就有不同的看法。仅从数学上来说：一、如果用0开始，则在用集合论构建自然数集的

7、时候，可以“顺理成章"地把空集定义为数0,再构造一个后继映射n

8、->{n,{n}},就可以完整地把Peano公理和集合论联系起來。事实上，现代的大部分数学书都是这样做的，因为集合论是现代数学的基础，这样做有诸多方便之处。可以说，这种写法是现代的主流，国际上的书刊一般也以0作为自然数的开始。而我国的大学代数教材也基木上一育用这种规定。而在屮小学，出于直观考虑（比如人数数一般从1开始），则早先一肓以1作为自然数开端，育到近几年为了“与国际接轨”，又通通换了以0开始。二、如果川1开始，如上所说，有肓观的方便。我国著名的数学家潘承洞、潘承彪写的《初等数论》中，就认为把o作

9、为H然数“一点儿也不自然雹数论屮把o作为自然数并没有集合论体系下的方便Z处，反而在整除理论屮有诸多不便（如o不能做除数），所以潘承洞、潘承彪先生把1做为自然数的开始也是合理的。