《数学物理方法》第三讲导数解析函数.ppt

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1、数学物理方法第三讲导数&解析函数（2学时）导数定义：设函数是区域上定义的单值函数，即对于区域上的每一个值，有且只有一个值与之对应，若在上的某点，极限存在，并且与趋近于0的方式无关，则称在点可导（或单演），此极限叫做函数在点的导数（或微商），以或表示。说明：复变函数的导数的定义，在形式上跟实变函数的导数的定义一样，因而，实变函数论中关于导数的规则和公式往往可应用于复变函数。1--------数学物理方法第三讲--------常用的求导公式：必须指出，复变函数和实变函数的导数定义，虽然形式上一样，实质上却有很

2、大的不同，这是因为实变函数只能沿着实轴逼近零，但复变函数却可以沿复平面上的任一曲线逼近零，因此，即与实变函数相比，复变函数的可导是一种严格的多的要求。2--------数学物理方法第三讲--------1现在让我们比较沿平行于实轴方向逼近零和沿平行于虚轴方向逼近零的两种情况：先看沿平行于实轴方向逼近零的情形，这时，而于是：2再看沿平行于虚轴方向逼近零的情形，这时，而于是：如果在z点可导，以上两极限必须存在且彼此相等，即：&两条件合称柯西—黎曼条件3--------数学物理方法第三讲--------复习:柯

3、西-黎曼条件是如何得到的?(形式)极坐标系下的柯西-黎曼条件:计算方法等式两边同乘:等式两边同乘:得极坐标系下的柯西-黎曼条件4--------数学物理方法第三讲--------证明:函数可导的充分必要条件是:函数的偏导数存在,且连续,并且满足柯西-黎曼条件.要证明可导,就必须证明极限:存在,并且与的方式无关.和是二元函数和的全微分.省略了高阶无穷小利用C-R条件将分子展开并合并同类项得:利用存在且与的方式无关命题得以证明!5--------数学物理方法第三讲--------解析函数在点解析函数在点及其邻

4、域上处处可导是区域B上的解析函数在区域B上每一点都解析说明函数若在某一点解析,则必在该点可导反之却不一定成立例仅在z=0点可导,在其他点均不可导由解析的定义可知:在z=0处并且在整个复平面上处处不解析结论函数在一点可导与解析是不等价的但是,函数在某区域上可导与解析是等价的6--------数学物理方法第三讲--------解析函数的主要性质若函数在区域B上解析,则:(为常数)是B上的两组正交曲线C-R条件两式相乘移项得等于=0说明和的方向矢量相互垂直若函数在区域B上解析,则:均为Ｂ上的调和函数调和函数定义

5、：见P141.有二阶连续偏导2.满足拉普拉斯方程7--------数学物理方法第三讲--------证明为调和函数对x求偏导对y求偏导相加同理消去得:这是说和都满足二维的拉普拉斯方程,也就是说它们都是调和函数,由于他们是同一个复变函数的实部和虚部,所以又叫共轭调和函数.8--------数学物理方法第三讲--------应用已知一个二元调和函数,可以把这个调和函数看做某个解析函数的实部(或者虚部),利用C-R条件求出相应的虚部(或者实部),这样就确定了这个解析函数.例题设给定的二元调和函数是解析函数的实部

6、,试求相应的虚部解二元函数的微分式是:利用C-R条件全微分于是得到:从而计算出进一步得到解析函数计算该积分为解题关键(三种方法)9--------数学物理方法第三讲--------已知，求。例题解方法一：并取积分路经为时，得10--------数学物理方法第三讲--------方法二：将，代入而所以11--------数学物理方法第三讲--------作业:P92.1),7)3P182.1),3)ClassisOver!Thankyou!12--------数学物理方法第三讲--------