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1、工程数学线性代数讲义LinearAlgebraMaterials卫斌教授主讲惠州学院数学系DepartmentofMathematicsHuizhoucollege2009年9月第1,2讲第一章行列式行列式（determinant[di'tə:minənt]）是研究线性代数（linearalgebra['ældʒibrə]）的一个重要工具，在线性方程组、矩阵、二次型中都需要用到行列式.在数学的其它分支里也常常要用到行列式.因此我们在第一章里就向大家介绍行列式.§1二阶与三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式行列式的概念是从解线性方程组的问题中引进来的.所谓线性方程组
2、是指未知量的最高次数是一次的方程组.例如，解二元一次方程组用加减消元法（为消，以×⑴－×⑵，为消，以）得.于是，当时，此方程组有唯一解：83.（3）为便于记忆上述公式，引进记号.（4）这样规定的式子称为2阶（级）行列式，它表示一个数，数叫二阶行列式的值.利用2阶行列式的概念，公式（3）中的分子与分母可分别写成，.于是上述结论可叙述为：二元一次方程组当它的系数组成的行列式时，有唯一解，并且这个解可以用公式表示：，.（5）二、三阶行列式类似地，为了讨论三元一次方程组（6）的解，引进记号：＝－.（7）由（7）式定义的记号称为3阶行列式，它按对角线法则（沙路法：主对角线及其平
3、行线上的元素乘积为正，副（次）对角线及其平行线上元素乘积为负）展开.注：对角线法则只适于二、三阶行列式.用消元法解三元一次方程组（6），可得到与二元一次方程组类似的结论：方程组（6），当它的系数组成的行列式83时，有唯一解，并且这个解可以用3阶行列式表示：，，.（8）公式（8）容易记忆，分母是方程组（6）的系数按原来次序组成的3阶行列式，称为系数行列式.的分子是把系数行列式的第1,2,3列换成常数项，其余列不动得到的行列式.二、三阶行列式的计算再参见教材P.3例2，例3.习题一1.(1)(3)(4)§2全排列及其逆序数为了引进阶行列式的概念，需要用到关于排列的一些知识
4、.定义1由自然数1,2,…,n组成的一个有序数组称为一个n元排列（permutation[,pə:mju(:)'teiʃən]），记作.例1写出所有的3元排列.解自然数1,2,3组成的有序数组共有下列个：123,132,213,231,312,321.我们知道，元排列数个5元排列12345，它的各个数是按照由小到大的自然顺序排列的，称它为5元自然序排列.而5元排列31452中，3比1大,但是3排在1的前面，它们跟自然顺序（由小到大）相反，这时称3和1这对数构成一个逆序.在排列31452中，构成逆序的数对还有32,42和52,共4个逆序，称排列31452的逆序数是4.一
5、般地，有定义2在一个排列中，一对数如果较大的数排在较小的数之前，就称这对数构成一个逆序.一个排列包含的逆序的总数，称为这个排列的逆序数.用表示，例如.例2求5元排列35412的逆序数.解构成逆序的数对共有31,32,54,51,52,41,42等七对，因此，.例3求元排列的逆序数.解因为在这个排列中，后面比它小的数有个，后面比它小的数有个，，3后面比它小的数有2个，2后面比它小的数有1个，所以83.一个排列的逆序数在一定程度上刻画了这个排列的性质.定义3逆序数是偶数的排列称为偶排列；逆序数是奇数的排列称为奇排列.逆序数的计算，再参见教材P.5例4.习题一2.(3)(5
6、)(6)§3对换(P.8§4)在许多问题中，需要把一个元排列变成另一个元排列，最简单的变换是；把某两个数互换位置，而其余数不动.例如，排列31452，把1和5互换位置，其余数不动，就得到排列35412.定义4把一个排列的某两个数互换位置，而其余数不动，就得到另一个排列，这样一种变换称为对换，将相邻两个元素对换，叫做相邻对换.排列31452经过1和5对换，变成排列35412，记作，由于31452是偶排列，35412是奇排列，因此对换（1,5）改变了排列31452的奇偶性.一般地，有定理1对换改变排列的奇偶性.证明（参见教材P.8）推论奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，
7、偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.证明参见教材P.8-9利用定理1可以证明下面一个重要结果.定理2在全部元排列中偶排列和奇排列各占一半，都是个（.定理3任一元排列都可以通过一系列对换与元自然序排列（标准排列）互换，并且所作对换的次数与这个元排列有相同的奇偶性.（P.8推论）例如，所作对换次数3与都是奇数.第3,4讲§4阶行列式的定义（P.5§3）为了把2,3阶行列式的概念推广到阶行列式，我们先来分析一下3阶行列式的特点.83（1）其中元素的第一个下标表示这个元素位于第行，称为行标，第二个下标表示此元素位于第列，称为列标.从（1）式看到：3阶行列式是
