2013届新课标高中数学(文)第一轮总复习第5章第33讲向量的数量积.ppt

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1、第五章平面向量与复数向量的数量积第33讲向量的数量积的概念【例1】设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题①(a·b)c－(c·a)b＝0；②

2、a

3、－

4、b

5、<

6、a－b

7、；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9

8、a

9、2－4

10、b

11、2.其中是真命题的有________．【解析】对于①，b与c是不共线的两个非零向量，且a·b与c·a不能都为零，故①错误．对于②，由三角形的两边之差小于第三边知②正确．对于③，由向量的数量积的运算法则，得[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·

12、c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，所以[(b·c)a－(c·a)b]⊥c，故③错误．对于④，由于(3a＋2b)·(3a－2b)＝9a2－4b2＝9

13、a

14、2－4

15、b

16、2，故④正确．答案：②④点评判断上述问题的关键是掌握向量的数量积的含义．向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)．【变式练习1】下列命题中正确的个数是________.①若a·b＝0，则a＝0或b＝0；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③若a·

17、b＝b·c(b≠0)，则a＝c；④a·b＝b·a；⑤若a与b不共线，则a与b的夹角为锐角．【解析】当a≠0时，由a·b＝0/b＝0，且对任意与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0，故①错．(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a通常并不是共线的，故②错．设a与b的夹角为α，b与c的夹角为β，则由a·b＝b·c，得

18、a

19、cosα＝

20、c

21、cosβ/a＝c，故③错．由于向量数量积满足交换律，故④正确．向量的夹角是指两向量起点相同时两个方向所成的角，可为[0°，180°]范围内的角，

22、故⑤错．答案：1向量的夹角点评数量积的定义和性质是解决垂直问题与夹角问题的重要方法．(1)题中通过垂直的充要条件，得到

23、a

24、＝

25、b

26、，这是本题的突破口．在等式2a·b＝b2中，不能“约去b”，得出“2a＝b”，注意这一点与实数乘法不同．(2)题中，向量的夹角范围是[0，π]，并且注意a2＝

27、a

28、2及夹角公式的应用．同时，a与b的夹角是钝角，可以得到a·b<0，但这并不是a与b的夹角为钝角的充要条件．因为a与b的夹角是180°时也有a·b<0.因此第二问要排除掉a与b反向的情形．想一想：若a与b的夹角是锐角时又要注意什么呢？

29、向量的平行与垂直【例3】设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a⊥(b－2c)，求tan(α＋β)的值；(2)求

30、b＋c

31、的取值范围；(3)若tanαtanβ＝16，求证a∥b.【解析】(1)b－2c＝(sinβ－2cosβ，4cosβ＋8sinβ)，a·(b－2c)＝4cosα(sinβ－2cosβ)＋sinα(4cosβ＋8sinβ)＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0.所以tan(α＋β)＝2.点评向量的平行与垂直问题是高考的热门话题，要牢记

32、向量平行与垂直的充要条件，根据已知条件灵活运用．综合应用点评本例是向量、函数、导数应用的典型例子．第(2)问中两种解法是解决向量垂直的常见方法：方法1是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；方法2是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的(但运算过程大大简化，值得注意)．第(2)问中求函数的单调区间运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用．051．两向量的夹角：如图，∠AOB＝θ(0≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．当θ＝0°时，a

33、与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，a与b垂直，记作a⊥b.2．向量的数量积的几何意义：对于a·b＝

34、a

35、·

36、b

37、cosθ，其中

38、b

39、cosθ叫向量b在a方向上的射影(θ为a、b的夹角)，向量的数量积a·b等于a的长度

40、a

41、与b在a方向上的射影

42、b

43、cosθ的乘积．当θ为锐角时，值为正；当θ为钝角时，值为负；当θ为直角时，值为零；当θ为零时，值为

44、a

45、·

46、b

47、；当θ为180°时，值为－

48、a

49、·

50、b

51、.4．运用平面向量的数量积应该注意以下几个方面：(1)两个向量的夹角的取值范围为[0°，180°]；(2)

52、两向量的数量积是一个数，而不是一个向量，并且数量积是向量间的一种乘法，与以前所学的乘法是有区别的，书写时要区分开；(3)当a≠0时，a·b＝0不能推出b一定是零向量，因为当a⊥b(a≠0)时，a·b＝0；(4)用向量的数量积可解决有关长度、角度和垂直的问题；(5)对于实数ab＝bc(b≠0)a＝c；但