高中数学竞赛辅导讲义第四讲 几个初等函数的性质【讲义】.pdf

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1、第四章几个初等函数的性质一、基础知识x1．指数函数及其性质：形如y=a(a>0,a¹1)的函数叫做指数函数，其x定义域为R，值域为（0，+∞），当01x时，y=a为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。1mmnnm-n1-12．分数指数幂：an=na,a=a,a=,an=。annma3．对数函数及其性质：形如y=logax(a>0,a¹1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R，图象过定点（1，0）。当01时，y=logax为增函数。4．对数的性质（M>0

2、,N>0）；x1）a=MÛx=logaM(a>0,a¹1)；2）loga(MN)=logaM+logaN；Mn3）loga（）=logaM-logaN；4）logaM=nlogaM；，Nn1logaMlogcb5）logaM=logaM；6）a=M;7)logab=(a,b,c>0,a,c¹1).nlogaca5.函数y=x+（a>0）的单调递增区间是(-¥,-a]和[a,+¥)，单调递减x区间为[-a,0)和(0,a]。（请读者自己用定义证明）6．连续函数的性质：若a

3、0在（a,b）上至少有一个实根。二、方法与例题1．构造函数解题。例1已知a,b,c∈(-1,1)，求证：ab+bc+ca+1>0.【证明】设f(x)=(b+c)x+bc+1(x∈(-1,1))，则f(x)是关于x的一次函数。所以要证原不等式成立，只需证f(-1)>0且f(1)>0（因为-10，f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0，所以f(a)>0，即ab+bc+ca+1>0.例2（柯西不等式）若a1,a2,…,an是不全为0的实数，b1,b2,…,bn

4、∈R，nnn222则（åai）·（åbi）≥(åaibi)，等号当且仅当存在mÎR，使ai=mbi,i=1i=1i=1i=1,2,…,n时成立。nnnn2222【证明】令f(x)=（åa）x-2(åab)x+åb=å(ax-b),iiiiiii=1i=1i=1i=1n2因为åa>0，且对任意x∈R,f(x)≥0，ii=1nnn22所以△=4(åab)-4（åa）(åb)≤0.iiiii=1i=1i=1nnn222展开得（åa）(åb)≥(åab)。iiiii=1i=1i=1等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在m，使ai=mbi,i=1,

5、2,…,n。+æ1öæ1ö例3设x,y∈R,x+y=c,c为常数且c∈(0,2]，求u=çx+÷ççy+÷÷的最èxøèyø小值。æ1öæ1öxy11xy【解】u=çx+÷ççy+÷÷=xy+++≥xy++2·×èxøèyøyxxyxyyx1=xy++2.xy222(x+y)c1c令xy=t，则0

6、所以u的最小值为++2.224c2．指数和对数的运算技巧。+q例4设p,q∈R且满足log9p=log12q=log16(p+q)，求的值。pttt【解】令log9p=log12q=log16(p+q)=t，则p=9,q=12,p+q=16，t2ttttæ4öæ4ö所以9+12=16，即1+ç÷=ç÷.è3øè3øttq12æ4ö21±5记x===ç÷，则1+x=x，解得x=.tp9è3ø2qq1±5又>0，所以=.pp2xyzw例5对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和实数x,y,z,w，若a=b=c=70，1111且++=，求证：a+b=

7、c.xyzwxyzw【证明】由a=b=c=70取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.111111所以lga=lg70,lgb=lg70,lgc=lg70，wxwywz1æ111ö1111相加得(lga+lgb+lgc)=çç++÷÷lg70，由题设++=，wèxyzøxyzw所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.所以abc=70=2×5×7.若a=1，则因为xlga=wlg70，所以w=0与题设矛盾，所以a>1.又a≤b≤c，且a,b,c为70的正约数，所以只有a=2,b=5,c=7.所以a+b=c

8、.例6已知x¹1,ac¹1,a¹1,c¹1.且logax+logcx=2logbx，求证2logabc=(ac).【证明】由题设logax+logcx=2logbx，化为以a为底