人教A版高中数学必修一教学课件：3.2.1几类不同增长的函数模型.ppt

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1、第三章　函数的应用3.2　函数模型及其应用3.2.1　几类不同增长的函数模型1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异．(重点)2．理解直线上升、对数增长、指数爆炸等不同函数类型增长的含义，及其对应函数模型的性质的差异．(易混点)3．会分析具体的实际问题，能够通过建模解决实际问题．(难点)三种函数模型的性质y轴平行x轴平行越来越快越来越慢ax>xn>logax三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为()A．y1，y2，y3B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1

2、D．y1，y3，y2x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.957.27.4解析：通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律，故选C.答案：C判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．1．函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．()2．当a>1，n>0时，在

3、区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logax0，b>1)表达的函数模型，称为指数型函数模型，也常称为“爆炸型”函数．()答案：1.×2.×3.√研究函数y＝0.5ex－2，y＝ln(x＋1)，y＝x2－1在[0，＋∞)上的增长情况．思路点拨：解答本题的关键是在同一坐标下画出它们的图象，结合图象说明它们的增长情况．三种函数模型的增长差异解：分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象，如图，从图象上可以看出函数y＝0.5ex－2的图象首先超过了函数y＝ln(x＋1)的图象，然后又超

4、过了y＝x2－1的图象，即存在一个满足0.5ex0－2＝x－1的x0，当x＞x0时，ln(x＋1)＜x2－1＜0.5ex－2.三种函数模型的表达形式及其增长特点(1)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”．(2)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m>0，x>0，a>1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长

5、”．(3)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型．1．函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)结合函数图象，比较f(8)，g(8)，f(2014)，g(2014)的大小．解：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2

6、)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1000，f(10)＝1024，∴f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)．∴1＜x1＜2,9＜x2＜10.∴x1＜8＜x2＜2014.从图象上知，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)；当x＞x2时，f(x)＞g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(2014)＞g(2014)＞g(8)＞f(8)．电信局为了满足客户的不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案的应付话费(元)与通话时间(min)之间的关系如图所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD)

7、试问：根据图象分析函数模型的增长趋势(1)若通话时间为2h，按方案A、B各付话费多少元？(2)方案B从500min以后，每分钟收费多少元？(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？思路点拨：首先根据图象求出函数的解析式，然后利用函数的观点求解．解：由题图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD.设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，则对于给出图象的应用问题，关键是读图，要将图形给出的有用信息准确、全面地提炼出来，为此要注意以下几点：①明确横轴、纵轴的意义，如本题中横轴x表示通话时

8、间，纵轴y表示电话费；②从图象形状上判定函数模型，如