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1、课前准备■八年级下册教材、笔记本、练习本.■饱满的求知精神状态如图，为了促进当地旅游业的发展，某地要在公路、铁路、淇河的附近修建一个度假村，要使这个度假村到三路的距离相等，则这个度假村建在哪里最合适？铁路淇河公路生活中的数学第三课时角平分线第13章全等三角形13.5逆命题与逆定理鹤壁市淇滨中学 张艳芬学习目标1、会证明并掌握角平分线的性质定理及其逆定理（判定定理）；2、能运用角平分线性质定理及其逆定理解决有关问题；（重点）难点：性质定理和判定定理的区别和灵活运用.自学指导■浏览教材P96—97倒第三行结束
2、。■（1）思考P96证全等的思路和依据。（2）填一填P97上方的表格。■6分钟后，比谁能创造性地作出与例题类似的习题。开启智慧角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等.如图,已知:OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE证明:因为PD⊥OA，PE⊥OB（已知），所以 ∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）．在△PDO和△PEO中，∠PDO＝∠PEO（已证），∠1＝∠2（已知），PO＝PO（公共边），∴△PDO≌△PEO(A.A.S)∴PD
3、=PE于是就有定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．几何的三种语言角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等.老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.开启智慧几何语言：已知:OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足结论:PD=PE∵如图，AD平分∠BAC（已知）∴=，()角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。BDCD判断对错：（×）ADCB∵如图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴=，()角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。BDCD（×）A
4、DCB∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DE⊥AB（已知）∴=，（）DBDC角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。√不必再证全等温馨提示:这个定理给我们提供了证明两条线段相等的新途径.练习1（98页）1．如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．提示：作∠AOB的平分线，交直线l于P就是所求的点小试牛刀2、变式一：如图，在Rt△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，ABCED∠C=90°，且,BD:CD=9：7，则D到AB边的距离为（）A、18B、16C、14D、12C突出重围
5、变式二：如图，在Rt△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，ABCED∠C=90°，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是（）A、1/3mnB、1/2mnC、mnD、2mnBnm变式三：如图，在Rt△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，ACBED∠C=90°，DE⊥AB于E，下列结论中正确的个数有（）个A、3B、2C、1D、4A①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④AB=AC+BE变式四：已知：在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E,AB
6、＝15cm.求△DBE的周长.EDCBA变式五：在△ABC中，CD平分∠ACB，AC=5，BC=3，求S△ACD/S△CBDCABDFE进步的标志′思考分析你能写出“定理角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题吗?角平分线上的点到角两边的距离相等.题设：结论：逆命题：一个点在角平分线上。它到这个角两边的距离相等。如果一个点到一个角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上。（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）证明:∵QD⊥OA，QE⊥OB（已知），∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义） 在Rt
7、△QDO和Rt△QEO中QO＝QO（公共边）QD=QE（已知）∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）∴∠QOD＝∠QOE∴点Q在∠AOB的平分线上已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。角平分线判定定理:用数学语言表示为：∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．(到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.)温馨提示:这个定理给我们提供了证明两个角相等的新途径.求证：三角形三条角
8、平分线交于一点.请把它转化为“已知…….求证…….”形式已知:△ABC中，AD、BE、CF分别是三个内角的平分线.ECAFDB求证:AD、BE、CF交于一点.推导IAEFBCPGH证明：设△ABC的角平分线BE,CF相交于点P,过点P分别作PG⊥BC于点G,PH⊥AC于点H,PI⊥AB于点I∵BE平分∠ABC，PI⊥AB,PG⊥BC∴PI=PG(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
