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《复变函数复习温习学习课件西安交大第四版.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.复合闭路定理那末一、复合闭路定理、柯西积分公式、高阶导数公式122、柯西积分公式定理3*计算方法：公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式.—————这是研究解析函数的有力工具43、高阶导数公式定理5*计算方法：6典型例子7成立存在在可微在C—R方程定理1二.与C-R方程相关知识点1.充要条件8内成立在区域D内解析在内可微在C—R方程定理292.充分条件成立存在在连续在C—R方程定理310成立在D内解析在内连续在C—R方程定理411四个偏导数均连续例1：12例2解?)(,,,,
2、),()(2222解析在复平面内处处取何值时问常数设zfdcbaydxycxibyaxyxzf+++++=132.解析函数与调和函数关系定理1D——区域为D内的调和函数.在D内解析?为调和函数，但不解析反例：14定理2在D内调和C—R方程成立——称u为v的共轭调和函数在D内解析15(1).偏积分法(以(已知u,求v)为例)3、利用该关系求解析函数16或17(2).不定积分法18例1:设为调和函数，试求其共轭调和函数及解析函数（1）偏积分：19故20（2）不定积分21三、Taylor级数及罗朗级数展开1.收敛定理及证明(阿贝尔A
3、bel定理)收敛收敛发散发散《1》.定理内容22证：由收敛的必要条件,有因而存在正数M,使对所有的n,《2》.定理证明而由正项级数的比较判别法知:收敛.另一部分的证明请课后完成.232、Taylor定理内容及证明其中泰勒级数泰勒展开式定理设在区域内解析,为内的一为到的边界上各点的最短距离,那末点,时,成立,当(1)24(2)Taylor定理证明.内任意点如图:.K.25由柯西积分公式,有其中K取正方向.则262728由高阶导数公式,上式又可写成其中可知在K内29令则在K上连续,30即存在一个正常数M,31在内成立,从而在K内泰
4、勒级数323.洛朗级数展开定理C为圆环域内绕的任一正向简单闭曲线.为洛朗系数.(1)33例1内是处处解析的,试把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.解34oxy13512oxy由且仍有362oxy由此时37仍有384、孤立奇点的分类，留数定理及计算， 留数在定积分上的应用39(1)孤立奇点的分类洛朗级数:函数在-------分类标准－－可去奇点（不含负幂项）－－m级极点（负幂项的最高次为m）－－本性极点（负幂项为无穷多项）40(2)孤立奇点类型的判定特点:不存在且可去奇点m级极点本性奇点41(3)留数定理及计算说明:2.留数定
5、理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数在C内各孤立奇点处的留数.《1》.留数定理在区域D内除有限个孤外处处解析,C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,那末立奇点函数42证[证毕]两边同时除以且...如图43设为的一个孤立奇点;内的洛朗级数:在.的某去心邻域邻域内包含的任一条正向简单闭曲线留数：440(高阶导数公式)0(柯西-古萨基本定理)45《2》.留数的计算方法(1)如果为的可去奇点,成洛朗级数求(2)如果为的本性奇点,(3)如果为的极点,则有如下计算规则展开则需将如果为的级极点,那末规则：46如果为的一级极点,那末推论1推
6、论2设及在都解析，如果那末为的一级极点,且有47典型例题例1求在的留数.解48例2求在的留数.分析是的三级零点由规则3得计算较麻烦.49如果利用洛朗展开式求较方便:解50说明:如为m级极点，当m较大而导数又难以计算时,可直接展开洛朗级数求来计算留数.2.在应用规则2时,取得比实际的级数高.级数高反而使计算方便.1.在实际计算中应灵活运用计算规则.为了计算方便一般不要将m但有时把m取得比实际的如上例取51例3求在的留数.解是的四级极点.在内将展成洛朗级数:52例4计算积分C为正向圆周:解为一级极点,为二级极点,5354《1》形如
7、的积分思想方法:封闭路线的积分.两个重要工作:1)积分区域的转化2)被积函数的转化把定积分化为一个复变函数沿某条(4)留数在定积分计算上的应用55(2)被积函数或积分表达式的转换(3)积分限或区域的转换(1)换元或变量代换56形如当历经变程时,的正方向绕行一周.z沿单位圆周57z的有理函数,且在单位圆周上分母不为零,满足留数定理的条件.包围在单位圆周内的诸孤立奇点.58例1计算积分解则5960例2计算解令61极点为:(在单位圆内)(在单位圆外)62例3解故积分有意义.636465因此66若有理函数R(x)的分母至少比分子高两次
8、,并且分母在实轴上无孤立奇点.一般设分析可先讨论最后令即可.《2》形如的积分672.积分区域的转化:取一条连接区间两端的按段光滑曲线,使与区间一起构成一条封闭曲线,并使R(z)在其内部除有限孤立奇点外处处解析.(此法常称为“围道积分法”)1.被积函数的转化:(当z在实轴上的区
