粘弹性材料中一类非线性方程组的整体经典解.pdf

《粘弹性材料中一类非线性方程组的整体经典解.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、数学年刊2008，29A(5)：709-718粘弹性材料中一类非线性方程组的整体经典解冰冰刘法贵木提要考虑具衰减记忆项的粘弹性材料中一类非线性方程组的Cauchy问题，在‘‘大”初值条件下证明了经典解的整体存在性，给出了解在有限时间内产生奇性的充分条件，结果表明记忆具有耗散效应．关键词Cauchy问题，粘弹性模型，经典解MR(2000)主题分类35L65，76N中图法分类0175．27文献标志码A文章编号1000—8314(2008)05—0709—101引言考虑具衰减记忆项的粘弹性材料中一类非线性方程组的Cauchy问题(见[1—

2、8])Wt-V2c-~-O一l仇一0，(1．1)一z=，t=0：rⅡj=wo(x)，V=vo(x)，(1．2)其中应力盯(，t)满足本构关系ft(，)=(叫)+／k(t一丁)((，r))dr，(1．3)这里函数()，(叫)和k(t)是已知光滑函数，且(W)>0，W∈R．(1．4)由此，方程组(1．1)是严格双曲型方程组．方程组(1．1)描述具衰减记忆项的一维非线性粘弹性材料运动，函数V和W分别表示速度和变形梯度．本构关系(1．3)是一种特殊情形，因为这里要求当t<0时，(，．)=0，且取零体力．另一方面，方程组(1．1)也可以表示具

3、记忆项的一维材料的热流的数学模型在以下的讨论中，限的特殊情形．此时方程组(1．1)可写为一=，／k(t一下、)(II、)dr(1．5)．0本文2007年7月22日收到．华北水利水电学院数学系，郑州450011．E—mail：liufagui@ncwu．edu．cn}国家自然科学基金(No．10571024)和河南省教育厅自然科学基金(No．2008Al10011)资助的项目710数学年刊29卷A辑让y(t)为下列线性Volterra方程的解：厂t()+／k(t一丁)(丁)d丁：()，t≥0．(1．6)0注1．1若k(t)=一pe～班

4、(q≥P>0)，则y(t)=一pe一(g呻．因此，下文关于()的假设是合理的．对(1．5)第2式中卷积进行简单的计算，得(见[1])，t，t／(￡一7．)dT-：v(O)v(x，t)一v(t)vo(x)+／(t一7-)u(，7-)d~-．(1．7)这样，方程组(1．5)等价于{1仇二一(叫)：F(u)，8)其中厂tF()=(0)(，t)一()0()+／(t一7-)(z，7-)d7-．(1．9)0由于物理上的原因，假设-2a三y(o)<0，>0．(1．10)对于o。初始数据，文[1]证明了RX[0，+。。)上弱解的存在性．文【2]考虑

5、了方程组(1．8)的初边值问题，在小初值条件证明了经典解的整体存在性．之后，文[3]利用能量积分的方法得到了方程组(1．8)的Cauchy问题整体经典解的存在性．在初始数据c模充分小的假设下，文[4，5]得到了同样的结果，且在f1wo(x)[f充分小，vo(x)三0，而l1w'o(x)【l充分大，则方程组(1．8)的Cauchy问题的C解的一阶微商一定在有限时间内发生奇性(见f6—81)．本文的主要目的是在“大”初始数据条件下，利用局部解延拓的方法(见【9])证明Cauchy问题(1．8)和(1．1)整体经典解的存在，并给出了解产生

6、奇性的充分条件．本文的结果表明，记忆具有耗散效应(见【9】)．本文安排如下：第2节给出主要结果，第3节得到一致先验估计，定理的证明在第4节给出．2主要结果容易计算方程组的特征为A：一、／／(叫)，=、／()．(2．1)引进Riemann不变量r=”十

7、x／j~~)dxs=”一

8、＼，a∞．(2．2)显然，(2．2)定义了一个(W，V)∈R。到(r，s)∈R的1-1映射．由此容易得到=丢(r+s)，甜：JE7一(丢(r—s))，(叫)：／=vg~x)d．5期刘法贵粘弹性材料中一类非线性方程组的整体经典解711{==二(r二；二三三二三二

9、j三二二三三(2．3)(2．4)r。()：。()+厂”。～d，0。()：。()一厂”。‘vd。(2．5)J0(2．6)『(￡)I≤k，／I(￡一7-)fd7-≤，(2．7)J0ly'()I≤，I(t一下)Id下≤．(2．8)定理2．1在假设(1．4)，(HI)，(H2)和(H3)之下，如果IIvo(x)l1+lwo(x)lI1充分小，则Cauchy问题(1．8)和(1．1)在t≥0上存在惟一的整体经典解．定理2．2在{段设(1．4)，(H1)，(H2)和(H3)之F，如果E充分小，且对任蒽的∈R，((W0()))r()一√／0=。’

10、4-f(x)d≥兰二u，(2．9)。(W0㈤s／o瓣≥u，(2．1O)则Cauchy问题(1．8)和(1．1)在t≥0上存在惟一的整体经典解，其中∈(0，4)是给定的任意正常数，fwo【J—r“0【)一ro(x)=vo(z)+／、／／