一元三、四次标准方程的经典解法.pdf

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1、一元三、四次标准方程的经典解法徐厚骏“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”——这是19世纪的德国数学家菲利克斯•克莱因(Klein，Felix1849—1925)对别人提问“数学究竟有什么用？”时的回答。摘要：一元二次方程很早就找到了公式解，后来经过数学家们的不懈努力，三次、四次方程也有了解答。但是之后很长的一段时间里没有人知道五次方程是否存在公式解。本文介绍一元三次、四次方程的解法，仅着重于解法的详细思路、技巧和步骤，至于结果以及历史

2、故事，在其它很多文件中已有介绍，读者很容易查到，本文不做介绍。㈠一元三次方程分析ax3bx2cxd0(a,b,c,dR,a0)…(1)。我们先对方程式进行分析，把上式写成函数形式，f(x)ax3bx2cxd…………(1’)这个函数当a0时有：x时f(x)x时f(x)当a0时有：x时f(x)x时f(x)函数曲线与x轴最少有一个交点，即方程(1)最少有一个实根。对函数f(x)求导数，得：f'(x)3ax22bxc…………(2)现在求f'(x)0

3、的根。改写为-1-22bcxx0…………(2’)3a3ab令xy，代入上式则有3ab2bbc(y)2(y)0，整理后为：3a3a3a3abcy2()20，从而得出3a3ab23acy2(3a)2bb23ac因而：x。3a这个二次方程(2’)的实根是函数(1’)f(x)的极点(拐点)，根的判别式是1b23ac：当10时，函数f(x)有一个极点(拐点)，当10时，函数f(x)没有极点(拐点)，这时，方程式(1)都只有一个实根；当10时，函数f(x)有两个极点(拐点)，这

4、时，方程式(1)有一个、也可能有两个或三个实根。㈡一元三次方程式的解法现在回过头来解方程式(1)，为了书写方便又不失一般性，我们把方程式(1)改写为：x3ax2bxc0………(3)-2-xya令,代入(3)得323y3(ba)y(2aabc)03273pba2q2a3ab令：和c后，方程简化为：3273y3pyq0…………(4)这个方程式最经典的解法是：令：yuv代入(4)式，得(uv)3p(uv)q0，展开，得u33u2v3uv2v3p(uv)q0移

5、项、整理，得u3v3q(3uvp)(uv)0………(5)由于方程式(5)增加了一个变量，所以应该增加一个约束条件，我们令3uvp0，方程式(5)变为u3v3q033，改写为uvqp我们把3uvp0改写为uv，即有33(uv)3p。27u33根据一元二次方程式的根与系数的关系，我们知道和v分别是下列方程式：p3X2qX02733的两个根，即Xu,Xv，因为12p3XXu3v3q,XX(uv)3121227-3-p3X2qX我们解方程式0，得27qq2

6、p3X2427qq2p3Xu3即12427qq2p3Xv322427因而有qq2p3qq2p3u3和v3，0242702427pba2q2a3ab其中，c。3273在复数域C，令i1，三次方程式(4)的三个根分别是：yuv1001i3y(uv)(uv)22002001i3y(uv)(uv)3200200xya根据，我们就可求出最终的解x。323令判别式为227q4p。23当227q4p0时，方程有一个实根和两个共轭复根

7、。23当227q4p0时，有两种情况-4-23(1)27q4p0时p0且q0，方程只有一个三重0实根；23(2)27q4p0时，uv，方程的三个实根中有两个相等；0023227q4p0，则有三个不相等的实根。在复数域C里，上述公式是非实数的，23如果227q4p0，q24我们取cosp327则方程的根可表示为：p2jx2cos()j0,1,2j333上面的符号对应于q是正的，下面的符号对应于q是负的。23如果227q4p0，并且p0q243

8、我们取cot2和tantanp327p则其实根是x2cot23上面的符号对应于q是正的，下面的符号对应于q是负的。23如果227q4p0方程的根是：pppx,,333-5-上面的符号对应于q是正的，下面的符号对应于q是负的。㈢一元四次方程特殊的四次方程容易解，如下列方程：x4mx2n0