精选积分习题1.pdf

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1、习题6.1⒈求下列不定积分：⑴∫32+−25x;⑵∫(sinxd+3ex)x;()xxxdax(2+cot2x)dx;⑶∫()xa+dx;⑷∫⑸∫(2csc2x−secxtanx)dx;⑹∫()xd2−23x;1⎛1⎞⎛1⎞⑺∫(x+)2dx;⑻∫⎜x++1⎟⎜⎜+1⎟⎟dx;x⎜⎝32x⎟⎠⎝x⎠223⋅xx−52⋅⎛x1⎞⑼∫⎜2+x⎟dx;⑽∫3xdx;⎝3⎠cos2x⎛23⎞⑾∫dx;⑿∫⎜⎜2−⎟⎟dx;cosx−sinx⎝1+x1−x2⎠cos2x⒀∫()1−xx2xdx;⒁∫dx.cos22xsinx332321243102解（1）∫∫(2x+

2、−x5x)dx=xdx+2∫xdx−5∫xdx=x+x−x+C。433（2）∫(sinxd+3ex)x=sinxdx+3exxdx=−cosx+3e+C。∫∫xaxax1a+1a（3）∫()xa+dx=∫∫xdx+=adxx++C(a≠1)。aa+1ln22（4）∫(2+cotx)dx=∫(1+=cscx)dxx−cotx+C。22（5）∫(2cscx−secxtanx)dx=2∫cscxdx−∫secxtanxdx=−2cotx−secx+C。（6）∫()xd2−23x=(6x64−+xx122−8)dx=16x7−x5+4x3−8x+C。∫7512311

3、1（7）∫(x+)2dx=(2x++)dx=x+2x−+C。x∫2x3x⎛1⎞⎛1⎞（8）∫⎜x++1⎟⎜⎜+1⎟⎟dx⎜⎝32x⎟⎠⎝x⎠1116323=∫(2++++x)dx=2x−+3x+2x+x+C。637263xxxx1692⎛x1⎞⎛x2x1⎞（9）⎜2+⎟dx=⎜4+2⋅()+⎟dx∫x∫x⎝3⎠⎝39⎠12x2x11=+4()−+C。xln4ln2−ln33ln9923⋅−xx5⋅22xx52（10）∫xdx=∫∫25dx−()dx=−2x⋅()+C。33ln2−ln33cos2x（11）∫dx=∫(cosx+sinxd)x=−sinxcos

4、x+C。cosx−sinx⎛23⎞dxdx（12）⎜−⎟dx=2−3=−2arctanx3arcsinx+C。∫⎜1+22⎟∫∫1+x21−x2⎝x1−x⎠31171544（13）∫()1−xx2xdx=∫()x44−xdx=−x4x4+C。71522cos2xcosx−sinx22（14）∫dx=dx=cscxdx−secxdxcos22xsinx∫22∫∫cosxsinx=−cotxx−tan+C=−2csc2x+C。⒉曲线yf=(x)经过点(e,−1)，且在任一点处的切线斜率为该点横坐标的倒数，求该曲线的方程。dy1解由题意，曲线yf=(x)在点(x,

5、y)处的切线斜率为=，于是dxxdxy==∫lnx+C，将点(e,−1)代入，得C=−2，所以曲线的方程为xy=lnx−2。3．已知曲线yf=(x)在任意一点(x,f(x))处的切线斜率都比该点横坐标的立方根少1，（1）求出该曲线方程的所有可能形式，并在直角坐标系中画出示意图；（2）若已知该曲线经过(,11)点，求该曲线的方程。4解（1）由题意可得dy3333=x−1，所以yx=∫(1−=)dxx−x+C，这dx4170就是所求曲线方程的所有可能形式。5（2）将点(,11)代入上述方程，可得C=，所以过点(,11)的曲线方4435程为y=x3−x+。4417

6、1