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1、§4具有某些特殊性的函数一有界函数定义1设f在D上有定义.若存在数M,使得则称f为D上的有上界的函数,M称为f在D上的一个上界.定义1-1设f在D上有定义.若存在数L,使得则称f为D上的有下界的函数,L称为f在D上的一个下界.定义2设f在D上有定义.若存在数M>0,使得则称f为D上的有界的函数.例1存在使得故函数在[-1,1]上有界.存在使得故函数在上有界.命题:f在D上有界f在D上既有上界,也有下界.问题:函数在R上是否有界?函数在R上是否有上界?在R上是否有下界?函数在[-3,5]上是否有界?问题
2、:函数在R上是否有界?函数在R上是否有上界?在R上是否有下界?函数在[-3,5]上是否有界?注:函数的有界性是相对一定的区域而言的.如何给出无界的定义?定义2设f在D上有定义.若存在数M>0,使得则称f为D上的有界的函数.定义2-1设f在D上有定义.若对任意M>0,总存在使得则称f为D上的无界.例2证明:在(0,1]无界.证:对任意M>0,取有例2证明:在(0,1]无界.证:对任意M>0,取有所以在(0,1]无界.例3设为D上的有界函数.证明:证:(ii)有所以例3设为D上的有界函数.证明:证:(ii
3、)有所以即是在D上的一个上界,从而大学的数学,概念很重要!!二单调函数考察函数与的图象.在单调递增在单调递减在单调递增定义3设f在D上有定义.若当总有则称f为D上的增函数;则称f为D上的严格增函数;则称f为D上的减函数;则称f为D上的严格减函数.例4证明在R上严格增加.证:当时,即故在R上严格增加.例5设f(x)在R上单调增加.事实上,当时,有但在R上不严格单调,因为若取则有但定理1.2设为严格增函数,则必有反函数且在其定义域f(D)上严格递增.证明分析:(1)存在唯一使得(2)在f(D)上严格增.证
4、:设对D中任意当时,当时,故对任意有且只有唯一使得即函数存在反函数任取设则由严格增性及可得即故在f(D)上严格递增.例6函数在严格单调递少,故存在反函数在严格单调递增,故存在反函数但在不存在反函数.定义2给定实数当x为无理数时,规定例7证明函数当a>时严格单调递增,当a<1时严格单调递减.分析:要证当时,有定义2给定实数当x为无理数时,规定例7证明函数当a>时严格单调递增,当a<1时严格单调递减.分析:要证当时,有即要证由有理数的稠密性,可取到有理数使所以注意到即可证.三奇函数和偶函数定义设D为对称于
5、原点的数集.f为定义在D上的函数.若有则称f为D上的奇函数(偶函数).例8函数为区间上的偶函数.函数为区间上的奇函数.偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称.例9设定义在上,证明为偶函数.证:所以为偶函数.四周期函数定义设为定义在数集D上的函数.若存在使得对任意有则称f为周期函数,为f的一个周期.若为f的一个周期,则(n为正整数)也是f的周期.若f存在最小周期,则称此周期为f的基本周期,简称周期.例10函数的周期为函数的周期为函数的周期为1.问题周期函数是否一定存在最小周期?考察常量函数:
6、习题研讨1.证明是R上的有界函数.2.（1）叙述无界函数的定义;（2）证明函数上的无界函数.（3）举出函数的例子，使为[0,1]上的无界函数.3.证明下列函数有指定区间上的单调性:在上严格递增;在上严格递增;在上严格递减.4.判别下列函数的奇偶性:5.求下列函数的周期:6.设函数定义在上.证明:(1)为偶函数;(2)为奇函数;(3)可表示为某个奇函数与偶函数之和.3.证明下列函数有指定区间上的单调性:在上严格递增;在上严格递增;在上严格递减.性:解(2):则注意到有所以即在上严格递增.
