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1、第二章随机变量随机变量及其分布函数离散型随机变量连续型随机变量随机变量函数的分布2.1.1随机变量的概念在实际问题中，随机试验的结果可用数量来表示，这就产生了随机变量的概念。§2.1随机变量及其分布函数一方面，有些试验，其结果与数有关(试验结果就是一个数)；另一方面，有些试验，其结果看起来与数值无关，但可引进一个变量来表示试验的各种结果。即试验结果可以数值化。△试验结果与数值有关的例子4.观察一只灯泡的使用寿命；5.测量某零件尺寸时的测量误差，…。1.观察掷一颗骰子出现的点数；2.连续射击,直至命中时的射击次数；3.某射手连续射击了30次,他击中目
2、标的次数；△试验结果看起来与数值无关，但可引进一个变量来表示试验的各种结果的例子在投篮试验中，用{0}表示投篮未中，{1}表示罚篮命中，{3}表示三分线外远投命中，{2}表示三分线内投篮命中，则随机试验结果可数值化。2.在掷硬币试验中，用{1}表示带国徽或人头的一面朝上，{0}表示另一面朝上，则随机试验的结果也可数值化。这种随机试验结果与数值的对应关系，在数学上可理解为:.X定义一个实值函数X(ω),将称这种定义在样本空间Ω上的实值单值函数X=X(ω)为随机变量.随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随
3、机变量的取值也有一定的概率规律.(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量是一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数).说明:(1)随机变量与普通的函数不同有了随机变量，随机试验中的各种事件都可以通过随机变量的关系式表达出来。如：用X表示单位时间内某信号台收到呼叫的次数，则X是一个随机变量。事件{收到呼叫}⇔{X≥1}；{没有收到呼叫}⇔{X=0}。(3)随机变量与随机事件的关系随机变量的取值一般用小写字母x,y,z等表示。随机变量通常用英文大写字母X,Y,
4、Z或希腊字母，等表示。随机变量的分类离散型离散型随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个,叫做离散型随机变量.观察掷一颗骰子出现的点数.随机变量X的可能值是:随机变量连续型实例11,2,3,4,5,6.非离散型其它实例2若随机变量X记为“连续射击,直至命中时的射击次数”,则X的可能值是:实例3设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了30次,随机变量X记为“击中目标的次数”,则X的所有可能取值为:实例2随机变量X为“测量某零件尺寸时的测量误差”.则X的取值范围为(a,b).实例1随机变量X为“灯泡的寿命”.连续型随机变量所取的可能值
5、可以连续地充满某个或某些区间,叫做连续型随机变量.则X的取值范围为我们重点研究离散型和连续型随机变量，因它们都是随机变量，自然会有许多相同或相似之处；但因其取值方式不同，故又有其各自的特点。学习时要注意它们各自的特点及描述方法。称为X的分布函数．(1)F(x)是普通函数，定义域0xxX2.1.2随机变量的分布函数1.定义：注意：值域[0,1].(2)分布函数的几何意义设X是一个随机变量，x是任意实数，函数例.往一个半径为2米的圆盘上射击，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变
6、量X的分布函数.解:（1）若x<0,则是不可能事件，于是（2）X若0x2,由题意，有（3）若,则是必然事件，于是01231F(x)x综上，X的分布函数为2.分布函数的性质分布函数都有如下性质：(1)F(x)是一个单调不减函数．01231F(x)x即F(x)是右连续的．反之,若某个实值函数具有上述性质,则它一定是某个随机变量的分布函数．说明：有的课本定义分布函数为这时，分布函数左连续。设X是一个离散型随机变量，其可能取值为x1,x2,…。为描述随机变量X，我们不仅要知道其所有可能的取值，还应知道取各值的概率。§2.2离散型随机变量说明定义2.2.
7、1离散型随机变量分布律的定义及性质用这两条性质判断一个数列是否是概率分布。（概率分布）离散型随机变量的分布律也可表示为或解：依据概率分布的性质欲使上述数列为概率分布，应有例1：设随机变量X的概率分布为确定常数a。从中解得这里用到了幂级数展开式例2：袋子中有依次标有-1，2，3的球1个、2个、1个，从中任取一球，X表示所取球的标号,求X的分布律和分布函数，并求：Xpk-123当x<-1时，0２xX３-1x解：由古典概率得：X的分布律为：当满足Xx的X取值为X=-1,２xX３-1x当满足Xx的X取值为X=-1,或2Xpk-123同理当-10123x1o
8、oo设离散型随机变量X的概率分布为pk=P{X=xk},k=1,2,…,X的分布函数为离散型随机变量的分布函数另解注意：已
