连续周期信号的Fourier级数.ppt

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1、第二章连续时间信号§2.1连续周期信号的Fourier级数§2.2连续非周期信号的Fourier变换§2.1连续周期信号的Fourier级数一、问题的提出二、Fourier级数的三角形式三、Fourier级数的指数形式五、有限区间上连续信号的Fourier级数四、连续周期信号的离散频谱一、问题的提出由基频可以得到如下一系列的简谐波：基本周期为的连续周期信号。对象称为基本频率(简称基频)。定义生成周期为的复杂波。显然，由这些简谐波通过加权叠加(即线性组合)可以这些简谐波都是以为周期的，即它们均满足：一、问题

2、的提出?(Fourier级数的历史回顾)对于任何一个周期为的(复杂)信号，问题能否：历史1.正交函数系函数系二、Fourier级数的三角形式1.正交函数系二、Fourier级数的三角形式特点(1)周期性(2)正交性2.Dirichlet定理(1)连续或只有有限个第一类间断点；(2)只有有限个极值点.二、Fourier级数的三角形式设是以为周期的实值信号，在区间上满足如下条件(称为Dirichlet条件)：定理则在的连续点处有在的间断处，上式左端为(A)其中(1)称(A)式为Fourier级数的三角形式。定

3、义2.Dirichlet定理定理二、Fourier级数的三角形式(2)称和为Euler-Fourier系数。(利用正交性)3.Fourier级数的物理含义改写二、Fourier级数的三角形式令则(A)式变为O(A)3.Fourier级数的物理含义二、Fourier级数的三角形式这些简谐波的频率分别为一个基频的倍数。这是连续周期信号的一个非常重要的特点。连续周期信号可以分解为一系列固定频率的简谐波之和,表明的频率成份，其频率是以基频为间隔离散取值的。认为“一个周期为的连续周期信号并不包含所有意义”3.Fou

4、rier级数的物理含义二、Fourier级数的三角形式这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。反映了频率为的简谐波在信号中振幅所占有的份额；相位反映了在信号中频率为的简谐波沿时间轴移动的大小。三、Fourier级数的指数形式代入(A)式并整理得由Euler公式有推导(A)已知1.公式推导三、Fourier级数的指数形式1.公式推导则有令其中(B)称(B)式为Fourier级数的指数形式。定义推导(1)分解式具有惟一性。说明(3)在不考虑具体的物理意义(即纯粹进行数学变换)的时候，分解式与系数中指数的正负

5、号可互换。三、Fourier级数的指数形式2.几点说明(2)计算系数时,其中的积分可以在任意一个长度为的区间上进行。(4)采用周期延拓技术，可以将结论应用到仅仅定义在某个有限区间上的信号。四、连续周期信号的离散频谱1.离散频谱得O分析由即的模与辐角正好是振幅和相位。(2)称为(离散)频谱。(1)称为振幅谱，称为相位谱；定义四、连续周期信号的离散频谱2.离散频谱图将振幅、相位与频率的关系画成图形。OO四、连续周期信号的离散频谱小结频率成份，其频率是以基频为间隔离散取值的。(1)一个周期为的连续周期信号并不包

6、含所有的占有的份额，因此通常记为(2)系数反映了频率为的简谐波在信号中所Fourier第一对傅氏变换周期连续离散非周期(1)当n=0时，在上设信号以为周期，求它的例离散频谱及其Fourier级数的指数形式．O解首先求基频(2)当时，解在上设信号以为周期，求它的例离散频谱及其Fourier级数的指数形式．O解(3)的Fourier级数为(4)振幅谱为相位谱为在上设信号以为周期，求它的例离散频谱及其Fourier级数的指数形式．O解(5)频谱图如下图所示。2-44-2O……2-44-2O……在上设信号以为周期

7、，求它的例离散频谱及其Fourier级数的指数形式．O五、有限区间上连续信号的Fourier级数仅仅定义在有限区间上的信号对象周期延拓，(1)将信号进行周期延拓，得到一个基本周期为分析的周期信号，即五、有限区间上连续信号的Fourier级数分析(2)对信号进行Fourier级数展开，仅仅定义在有限区间上的信号对象即得五、有限区间上连续信号的Fourier级数定义在区间长度为的有限区间上的连续信号，其频谱结论也是以基频为间隔离散取值的。Fourier第二对傅氏变换有限连续离散非周期仅仅定义在有限区间上的信号

8、对象休息一下……历史回顾——Fourier级数附：1807年12月12日，在法国科学院举行的一次会议上，Fourier宣读了他的一篇关于热传导的论文，宣称：在有限区间上由任意图形定义的任何函数都可以表示为单纯的正弦与余弦函数之和。经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德三人(号称3L)审阅后，认为其推导极不严密，被拒(锯)收。1811年，Fourier将修改好的论文：提交给法国科学院。《关于热传导问题的研究》其新颖、实用，从而于1812年