代数结构与图论10章.ppt

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1、第十章群与环主要内容群的定义与性质子群与群的陪集分解循环群与置换群环与域1半群、独异点与群的定义半群、独异点、群的实例群中的术语群的基本性质10.1群的定义与性质2半群、独异点与群的定义定义10.1(1)设V=是代数系统，∘为二元运算，如果∘运算是可结合的，则称V为半群.(2)设V=是半群，若e∈S是关于∘运算的单位元，则称V是含幺半群，也叫做独异点.有时也将独异点V记作V=.(3)设V=是独异点，eS关于∘运算的单位元，若aS，a1S，则称V是群.通常将群记作G.3实例例1(1),,<

2、Z,+>,,都是半群，+是普通加法.这些半群中除外都是独异点(2)设n是大于1的正整数，和都是半群，也都是独异点，其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法(3)为半群，也是独异点，其中为集合对称差运算(4)为半群，也是独异点，其中Zn={0,1,…,n1}，为模n加法(5)为半群，也是独异点，其中◦为函数的复合运算(6)为半群，其中R*为非零实数集合，◦运算定义如下：x,yR*,x◦y=y4例2设G={e,a,b,c}，G上的运算由下表给

3、出，称为Klein四元群eabceabceabcaecbbceacbae实例特征：1.满足交换律2.每个元素都是自己的逆元3.a,b,c中任何两个元素运算结果都等于剩下的第三个元素5有关群的术语定义10.2(1)若群G是有穷集，则称G是有限群，否则称为无限群.群G的基数称为群G的阶，有限群G的阶记作

4、G

5、.(2)只含单位元的群称为平凡群.(3)若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝尔(Abel)群.实例：和是无限群，是有限群，也是n阶群.Klein四元群是4阶群.<{0},+>是平凡群.上述群都是交

6、换群，n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群.6定义10.3设G是群，a∈G，n∈Z，则a的n次幂.群中元素的幂群中元素可以定义负整数次幂.在中有23=(21)3=13=111=0在中有(2)3=23=2+2+2=67元素的阶定义10.4设G是群，a∈G，使得等式ak=e成立的最小正整数k称为a的阶，记作

7、a

8、=k，称a为k阶元.若不存在这样的正整数k，则称a为无限阶元.例如，在中，2和4是3阶元，3是2阶元，1和5是6阶元，0是1阶元.在中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.

9、8群的性质：幂运算规则定理10.1设G为群，则G中的幂运算满足：(1)a∈G，(a1)1=a(2)a,b∈G，(ab)1=b1a1(3)a∈G，anam=an+m，n,m∈Z(4)a∈G，(an)m=anm，n,m∈Z(5)若G为交换群，则(ab)n=anbn.证(1)(a1)1是a1的逆元，a也是a1的逆元.根据逆元唯一性，等式得证.(2)(b1a1)(ab)=b1(a1a)b=b1b=e,同理(ab)(b1a1)=e，故b1a1是ab的逆元.根据逆元的唯一性等式得证.9群的性质：方程存在惟一解定理10.2G为群，

10、a,b∈G，方程ax=b和ya=b在G中有解且仅有惟一解.例3设群G=，其中为对称差.解下列群方程：{a}X=，Y{a,b}={b}解X={a}1={a}={a}，Y={b}{a,b}1={b}{a,b}={a}证a1b代入方程左边的x得a(a1b)=(aa1)b=eb=b所以a1b是该方程的解.下面证明惟一性.假设c是方程ax=b的解，必有ac=b，从而有c=ec=(a1a)c=a1(ac)=a1b同理可证ba1是方程ya=b的惟一解.10群的性质：消去律定理10.3G为群，则

11、G中适合消去律，即对任意a,b,c∈G有(1)若ab=ac，则b=c.(2)若ba=ca，则b=c.证明略例4设G={a1,a2,…,an}是n阶群，令aiG={aiaj

12、j=1,2,…,n}证明aiG=G.证由群中运算的封闭性有aiGG.假设aiGG，即

13、aiG

14、

15、G

16、=n矛盾.11群的性质：元素的阶证(1)充分性.由于r

17、k，必存在整数m使得k=mr，所以有ak=amr=(ar)m=em=e.必要性.根据除法，存在整数m和i使得k=mr+i,0≤i≤r

18、1从而有e=ak=am