浙师大建模作业.docx

《浙师大建模作业.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、本科生课程论文课程名称数学建模开课时间2013-2014第二学期学院数理与信息工程学院学科专业数学与应用数学学号12170321姓名汤丽娅、蒋滢蓥、吴瑞任课教师成绩评阅教师签名19地板砖铺设建模摘要工程中经常会遇到把某种固定形状的材料铺到某物体表面的问题。房屋的地板砖铺设就是其中的一种实例。在本类题目中，我们需要考虑地板砖的成本、铺设人工费用以及地板砖破损成本等方面因素，目标是为了使成本达到最小化。问题一是要建立地板砖铺设的总成本的模型，首先进行变量设定。设定变量时尽量简单准确，进而使得模型更加精简易懂。根据题目信息，考虑到影响地板砖铺设总费用的

2、因素有地板砖的尺寸、价格、切割费用、破损概率，我们对各个因素分别进行讨论，容易得到他们之间的等量关系。其中用到的数学思想有分类讨论，使用零一变量等。综合上述讨论，可以得到铺设地板砖总费用关于各个变量之间的关系式。模型建立初步完成。最终我们得出铺设地板砖所需的总费用W为：W=180An'+130Bn'+80Cn'+72Dn'+45En'+Q+U，其中U为切割总费用且U=a*Ln;其中a为常数。问题二是要使用一种尺寸的地板砖进行铺设，并计算铺设地板砖的块数、利用率和总费用，比较分析哪种尺寸的地板砖铺设成本最低。从问题一中我已经得知，可以将模型的求解简

3、化。我们将要铺设的区域进行划分，并分别求解各种板砖的铺设费用，得到费用最低的方案。在模型中，我们设总费用最低为目标函数，再根据地板砖铺设的长宽与矩形长宽的大小关系列出约束条件。最后使用Lingo软件求出最优解。最终我们分析得到800*800的尺寸砖块的铺设成本最低，为42757元，300*300尺寸的砖块利用率最高，为98.10%。问题三是若允许使用多种尺寸的地板进行混合铺设，需要实现板砖的自动铺设，并计算出铺设各种尺寸板砖的块数、利用率和总费用。由于此时需要混合铺设，且各板砖的尺寸不一样，因此我们需要在第一、二问的基础上将过程进行修改。从问题一

4、的过程及结论中我们可以得到，要优先考虑最大的尺寸。其余部分则用小尺寸，或者采取切割手段。在此铺设方案的基础上，以铺设费用最小为目标函数，建立目标规划模型，对此模型进行求解得到各类地板砖的块数、利用率和总费用。由分析可知，混合铺设时800*800、600*600、600*300、400*4000、300*300的块数分别为192、2、33、57、2，总费用为47596元。该模型采用0-1变量，使用Matlab软件和Lingo软件，计算出铺设地板砖的最少费用。缺点是没有很好的利用切割后剩余的材料、模型较为理想化，现实存在的一些问题不能充分考虑、对于一

5、些结构复杂及形状不规则的户型，区域划分较为困难，应用此模型求解时较为复杂、未考虑实际情况相爱多种类型地板砖混合铺设对美观效果的影响。但是对于一些较规则的材料，可以利用此模型求出费用最少的铺设方法。关键词：地板砖铺设模型最优解高斯函数一、问题重述19在地板砖的铺设问题中，需要考虑地板砖的成本、铺设人工费用以及地板砖破损成本等方面，目标是为了使成本最小化，同时需要考虑整块地板砖的使用比例，即切割地板砖数尽量少，达到美观效果。设工程中能购买到的地板砖的尺寸、价格、安装费用、破损概率等参数如表1所示。需要铺设的房屋地面结构如图1所示。假设每块地板砖只能沿

6、着平行于边的方向切割，最多只能切割一次，且切割所用人工费用跟切割长度成正比。1.请综合考虑影响地板砖铺设成本的因素，建立计算地板砖铺设总成本的模型。2.若仅使用一种尺寸的地板砖进行铺设，请设计一种算法进行地板砖的自动铺设，并计算铺设地板砖的块数、利用率和总费用，比较分析哪种尺寸的地板砖铺设成本最低。3.若允许使用多种尺寸的地板砖进行混合铺设，又如何实现地板砖的自动铺设，并计算铺设各种尺寸地板砖的块数、利用率和总费用。4.根据你的模型、算法和计算结果，为地板砖铺设提出一些意见和建议。表1各种地板砖相关参数尺寸mm单价（元）破损概率（%）切割成本（元

7、/块）800*80018084600*60013073600*3008063或1.5400*4007252300*3004531.5图1户型结构图（单位mm）二、模型的假设与符号说明192.1模型假设1.假设各尺寸板砖的材料、颜色一致；2.假设破损的砖不可利用；3.进行铺设面积计算时，忽略地板砖缝隙，墙厚等因素；4.不考虑房间过门处对铺设面积的影响；5.不考虑房间中尺寸不明墙壁对铺设面积的影响；2.2符号说明符号说明xiyiNinimiaibipiUQWηS第i个房间的横向边长第i个房间的纵向边长第i个房间所需的地板砖数第i个房间所需未切割地板砖

8、的数量第i个房间所需切割地板砖的数量第i个房间横向未切割地板砖的数量第i个房间纵向未切割地板砖的数量第i个房间地板砖破损的数量切割总费用