浙江专用2019高考数学二轮复习专题五函数与导数不等式第3讲利用导数研究函数的单调性学案201812242184.doc

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1、。。内部文件，版权追溯第3讲　利用导数研究函数的单调性高考定位　理解导数的几何意义是曲线上某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题；常以指数、对数式为载体，考查函数单调性的求法或讨论．真题感悟1．(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)解析　利用导数与函数的单调性进行验证．f′(x)＞0的解集对应y＝f(x)的增区间，f′(x)＜0的解集对应y＝f(x)的减区间，验证只有D选项符合．答案　D2．(2017·全国Ⅰ卷改编)已知

2、函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，其中参数a≤0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥0，求a的取值范围．解　(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且a≤0.f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．①若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上单调递增．②若a<0，则由f′(x)＝0，得x＝ln.当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0.故f(x)在上单调递减，在区间上单调递增．12(2)①当a＝0时，f(x)＝e2x≥0恒成立．②若a<0，则由

3、(1)得，当x＝ln时，f(x)取得最小值，最小值为f＝a2，故当且仅当a2≥0，即a≥－2e时，f(x)≥0.综上，a的取值范围是[－2e，0]．考点整合1．求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)在点P的切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程．(2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程．(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：设切点P

4、(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．2．导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则y＝f(x)在该区间为增函数；如果f′(x)＜0，则y＝f(x)在该区间为减函数．(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.热点一　函数图象的切线问题【例1】(1)(

5、2018·全国Ⅱ卷)曲线y＝2lnx在点(1，0)处的切线方程为________．(2)(2018·丽水调研)已知函数f(x)＝x2－(x>0)，g(x)＝(x>0)，过点且与f(x)相切的直线与g(x)也相切．则k的值为________．解析　(1)由题意知，y′＝，所以曲线在点(1，0)处的切线斜率k＝y′

6、x＝1＝2，故所求切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.(2)∵f′(x)＝x，∴f′＝4，可得切点为，∴切线方程为y＝4x－4，12由题设可知切线相同，∴g′(x)＝－＝4，∴x＝，∴

7、4－4＝，解得k＝－1.答案　(1)y＝2x－2　(2)－1探究提高　(1)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．(2)解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标，解题时先不要管其他条件，先使用曲线上点的横坐标表达切线方程，再考虑该切线与其他条件的关系．【训练1】(1)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线

8、y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为(　　)A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x(2)(2018·全国Ⅲ卷)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a＝________．解析　(1)法一　因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)·(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0.因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)

9、＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.法二　因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，此时f(x)＝x3＋x(经检验，f(x)为奇函数)，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.法三　易知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝