浙江2019高考数学二轮复习专题五函数与导数不等式第4讲利用导数研究函数的极值最值学案

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1、第4讲　利用导数研究函数的极值、最值高考定位　考查函数极值、最值的求法，综合考查与范围有关问题．真题感悟1．(2017·全国Ⅱ卷)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　)A．－1B．－2e－3C．5e－3D．1解析　f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1，则f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0a＝－1，则f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1，当x<－2或x

2、>1时，f′(x)>0，当－2

3、则f(x)在区间上的最大值为e－.又f(x)＝(x－)e－x＝(－1)2e－x≥0.考点整合1．极值的判别方法对于可导函数f(x)，当f′(x0)＝0时，如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．极值是一个局部概念，极值的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小．2．闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者

4、，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小者.热点一　用导数解决函数的极值问题【例1】求下列函数的极值：(1)f(x)＝x2－2x－4lnx；(2)f(x)＝ax3－3x2＋1－(a∈R且a≠0)．解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－2－＝，令f′(x)＝0得x＝2或－1(舍)．随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋12f(x)极小值∴f(x)有极小值f(2)＝－4ln2，无极大值．(2)由题设知a≠0，f′(

5、x)＝3ax2－6x＝3ax.令f′(x)＝0得x＝0或.当a>0时，随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴f(x)极大值＝f(0)＝1－，f(x)极小值＝f＝－－＋1.当a<0时，随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x0(0，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值极大值∴f(x)极大值＝f(0)＝1－，f(x)极小值＝f＝－－＋1.综上，f(x)极大值＝f(0)＝1－，f(x)极小值＝f＝－－＋1.探究提高　函数极

6、值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值这类问题的一般解题步骤为：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．(2)由函数极值求参数的值或范围．讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f′(x12)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点

7、，要检验极值点两侧导数是否异号．训练1(1)设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c.若f(x)在R上无极值点，则实数a的取值范围为________．(2)设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则(　　)A．a>－3B．a<－3C．a>－D．a<－解析　(1)由题得f′(x)＝3ax2－4x＋1.若f(x)在R上无极值点，则f(x)在R上是单调函数，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．①当a＝0时，f′(x)＝－4x＋1，显然不满足条件；②当a≠0时，f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的充要条

8、件是Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0，即16－12a≤0，解得a≥.综上，实数a的取值范围为.(2)y′＝f′(x)＝aeax＋3，当a≥0时，f′(x)>0在R上恒成立，∴f(x)无极值点；当a<0时，令f′(x)＝0得x＝ln，∴ln>0得a<－3，故选B.答案　(1)　(2)B热点二　用导数解决函数的最值问题【例2】已知函数f(x)＝x3