清华大学数学实验报告4.docx

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1、数学实验报告4非线性方程求解电13苗键强201101064522/23一、实验目的1.掌握用MATLAB软件求解非线性方程和方程组的基本用法，并对结果作初步分析；2.练习用非线性方程和方程组建立实际问题的模型并进行求解。二、实验内容题目1【问题描述】(Q1)小张夫妇以按揭方式贷款买了1套价值20万元的房子，首付了5万元，每月还款1000元，15年还清。问贷款利率是多少？(Q2)某人欲贷款50万元购房，他咨询了两家银行，第一家银行开出的条件是每月还4500元，15年还清；第二家银行开出的条件是每年还45000元，20年还清。从利率方面看，哪家银行较优惠（简单假设：年利率=月利率×12）？【分析与

2、解】假设初始贷款金额为x0，贷款利率为p，每月还款金额为x，第i个月还完当月贷款后所欠银行的金额为xi，(i=1,2,3,......,n)。由题意可知：x1=x01+p-xx2=x0(1+p)2-x1+p-x22/23x3=x0(1+p)3-x1+p2-x1+p-x……xn=x0(1+p)n-x1+pn-1-…-x1+p-x=x01+pn-x1+pn-1p=0因而有：x01+pn=x1+pn-1p……(1)则可以根据上述方程描述的函数关系求解相应的变量。(Q1)根据公式(1)，可以得到以下方程：150p1+p180-1+p180+1=0设fp=150p1+p180-1+p180+1，通过计算

3、机程序绘制f(p)的图像以判断解p的大致区间，在Matlab中编程如下：fori=1:25t=0.0001*i;p(i)=t;f(i)=150*t*(1+t).^180-(1+t).^180+1;end;plot(p,f),holdon,gridon;22/23运行以上代码得到如下图像：f(p)~p关系曲线图通过观察上图可知p∈[0.002,0.0022]。Solution1：对于p∈[0.002,0.0022]，采用二分法求解，在Matlab中编程如下：clear;clc;x0=150000;n=180;x=1000;p0=0.002;p1=0.0022;while(abs(p1-p0)>1

4、e-8)f0=x0*(1+p0).^n+x*(1-(1+p0).^n)/p0;f1=x0*(1+p1).^n+x*(1-(1+p1).^n)/p1;p2=(p0+p1)/2;f2=x0*(1+p2).^n+x*(1-(1+p2).^n)/p2;22/23if(f0*f2>0&&f1*f2<0)p0=p2;elsep1=p2;end;end;p0结果得到p0=0.00208116455078125=0.2081%.所以贷款利率是0.2081%。Solution2：对于p∈[0.002,0.0022]，采用牛顿法求解，为观测p{k}是否收敛，在Matlab中编程如下：clearclcn=5;for

5、i=1:np(i)=0.0001*(i+18);t=p(i);f(i)=t-(150*t*(1+t).^180-(1+t).^180+1)/(27000*t*(1+t).^179+150*(1+t).^180-180*(1+t).^179);g(i)=t;end;plot(p,f,p,g),holdon,gridon;22/23运行以上代码得到如下图像：由图像可知蓝色曲线在两线交点处斜率绝对值小于1，故p{k}收敛。取初始值p=0.0019，采用牛顿法求解，在Matlab中编程如下：p=0.0019;fori=1:100a=p-(150*p*(1+p).^180-(1+p).^180+1)/(

6、27000*p*(1+p).^179+150*(1+p).^180-180*(1+p).^179);p=a;endp结果得到p0=0.00208116388945915=0.2081%.所以贷款利率是0.2081%。Solution3：采用fzero求解，在Matlab中编程如下：22/23p=fzero(inline('150*x*(1+x).^180+1-(1+x).^180'),[0.00200,0.00225]);结果得到p0=0.00208116388945920=0.2081%.所以贷款利率是0.2081%。【结论】贷款利率是0.2081%。(Q2)根据公式(1)，对于第一家银行提

7、供的条件可以得到关于月利率p1的方程：1000p11+p1180-91+p1180+9=0对于第二家银行提供的条件可以得到关于年利率p2的方程：100p21+p220-91+p220+9=0设fp1=1000p11+p1180-91+p1180+9，fp2=100p21+p220-91+p220+9。通过计算机程序绘制f(p1)和f(p2)的图像以判断解p1和p2的大致区间，在Matlab中编程如