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1、第八节多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值二、多元函数最大值最小值三、条件极值拉格朗日乘数法四、小结一、多元函数的极值1、二元函数极值的定义注意：极值是一个局部概念，极小值可能大于极大值。(1)例1例22、多元函数取得极值的条件证从而故定理结论成立。几何解释：曲面在可导的极值点处对应的切平面平行于平面。定义：使一阶偏导数同时为零的点，称为函数的驻点.驻点可导的极值点注意：例3求函数的极值点。解求驻点，解方程组得所以驻点为(1,0).,所以(1,0)是极小值.又因为问题：是否有简单方法判断一个驻点是否为极值点
2、？则(1)当时,函数在处取极值;取极小值,取极大值.（2）时函数在没有极值；（3）时函数可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．例4求函数的极值。（书）解解方程得：得驻点又在点(-3,0)处,,所以函数不取极值.在点(-3,2)处,且所以函数取极大值,在点(1,0)处,,函数取极值.由知,函数取极小值.类似验证,函数在点(1,2)处不取极值.解第四步对函数的不可导点,用定义判断.例如，在(0,0)取极小值,但在(0,0)偏导数不存在.二、多元函数的最值求最值的一般方法：在实际问题中，我们经常使用：有最值且在区
3、域内部取得；(2)在D内只有一个驻点，则函数在处一定取最值。（1）求函数在D内的所有驻点及不可导点处的函数值；（2）求函数在D的边界上的最大值和最小值；（3）相互比较它们的大小，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.例6（书）做一个体积为2立方米的有盖长方体水箱，问水箱的长、宽、高各为多少时用料最省？解设水箱的长、宽分别为，根据题意知，高=，用料为，则求驻点：解方程得由实际问题知，的最小值一定在区域内部取得，且在区域内部只有一个驻点，所以当时，最小。即水箱的长、宽、高分别为、、时用料最省。容易验证在处取极小值
4、.无条件极值：对自变量只限制在定义域内，并无其他条件.上述例题还可以换一种说法：设长、宽，则且满足。即求函数在条件下的最值问题。高分别为三、条件极值、拉格朗日乘数法（1）条件极值定义：求函数在条件下的极值问题，称为条件极值。设则确定函数且将代入得单元函数，由一元函数求极值的方法令，于是有并且满足，即求解方程组得可能的极值点。将上述过程总结出来即是我们要讨论的拉格朗日乘数法。拉格朗日乘数法：要找函数在附加条件下的可能极值点，可以构造函数其中为某一常数。（2）拉格朗日乘数法求解方程组即得可能的极值点的坐标。（3）条
5、件极值的几何意义就是求曲线的极值。xyz求函数在条件下的极值问题，例7(20060105)设与均是可微函数,且已知是在约束条件下的一个极值点,则下列选项正确的是()(A)若则(B)若则(C)若则(D)若则构造拉格朗日乘子函数:因为所以代入第一个方程得若则.故选(D)例8求曲面被平面所截的曲线最高点坐标。解由题意知，求函数在条件下的极大值点与极大值。令求驻点。解方程组又方程(1),(2)得,代入(3)得.这是唯一可能的极值点,而我们要求最值一定存在,且在内部取得,所以极大值点为极大值为所以最高点坐标为解则由方程(
6、1),(2),(3)得代入(4)得解构造求驻点:由方程(1),(2),(3)容易推得:代入(4)得注：目标函数可设为例11抛物面被平面截成一椭圆,求原点到这椭圆的最长、最短距离。解设原点到椭圆的距离为，则，点在椭圆上。由题意知,求出在条件下的最值.令求驻点:由方程(1)(2)(4)得:.代入(5)得解方程得从而由实际问题知,最大值、最小值一定存在，故最大距离为最短距离为。例12求内接半径为的球且有最大体积的长方体。解由球的对称性，不妨设是该球面在第一卦限的任意一点，则约束条件为。内接长方体三相邻边长为,长方体的
7、体积为构造拉格朗日函数:则问题就是求在条件下的最值.求驻点:由方程(1),(2),(3)得:,代入方程(4)得于是得唯一驻点由实际问题知,内接于球的最大长方体存在,所以当长方体为边长均为的正方体时,体积最大.例13求平面与柱面相交所成椭圆的面积.解因为过原点,所以椭圆的中心在原点.只需求出椭圆的长、短半轴，即求原点到曲线取上任意一点距离的最大、最小值。令表示距离，则求驻点：利用(4)式,将方程(1)、(2)、(3)分别乘以相加,在利用方程(1)、(2)式消去得：(6)方程(1)、(2)、(3)分别乘以相加得：（
8、7）(7)式表明的极值等于满足方程(6),设方程(6)的两个根为应为所求椭圆的两个半轴的平方,根据根与系数的关系得所求面积为多元函数的极值拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值四、小结思考题思考题解答练习题练习题答案
