2015考研数学一真题(完整版).pdf

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1、2015考研数学（一）真题（完整版）来源：文都教育一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.(1)设函数f()x在(−∞+∞,)内连续，其中二阶导数f′′()x的图形如图所示，则曲线yfx=()的拐点的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3112xx(2)设yexe=+()−是二阶常系数非齐次线性微分方程23xy′′++=ay′byce的一个特解，则()(A)abc=−3,=2,=−1(B)abc=3,==2,−1(C)abc=−3,=2,=1(D)abc=3,==2,1∞∞n(3)若

2、级数∑an条件收敛，则x=3与x=3依次为幂级数∑naxn(1−)的n=1n=1()(A)收敛点，收敛点(B)收敛点，发散点(C)发散点，收敛点(D)发散点，发散点(4)设D是第一象限中曲线21xyx==,41y与直线yx=y=3x围成的平面区域；函数，f(,)xy在D上连续，则∫∫f(,)ddxyxy=（）Dπ1π1（A）3dθsin2θf(cos,sin)d.rrrθθ（B）3dθsin2θf(cos,sin)d.rrrθθr∫π∫1∫π∫142sin2θ42sin2θπ1π1（C）3dθsin2θf(cos,sin)d.rrrθθ（D）3dθ

3、sin2θf(cos,sin)d.rrrθθ∫π∫1∫π∫142cos2θ42sin2θ⎛⎞111⎛⎞1⎜⎟⎜⎟(5)设矩阵A=12a，b=d.若集合Ω={1,2}，则线性方程组Ax=b有无穷多解的充⎜⎟⎜⎟⎜⎟2⎜⎟2⎝⎠14a⎝⎠d分必要条件为()（A）ad∉Ω,.∉Ω（B）ad∉Ω∈Ω,.（C）ad∈Ω,.∉Ω（D）ad∈Ω∈Ω,.222(6)设二次型f(,,)xxx在正交变换X=PY下的标准形为2.yyy+−其中123123P=(,,)eee.若Qeee=−(,,)，则f(,,)xxx在正交变换下X=QY的标准形为123132123()22

4、2222（A）2.yyy−+（B）2.yyy+−123123222222（C）2yyy−−（D）2yyy++123123(7)若A,B为任意两个随机事件，则()（A）PABPAPB()≤()().（B）PABPAPB()≥()().PAPB()()+PAPB()()+（C）PAB()≤.（D）PAB()≥.22(8)设随机变量X,Y不相关，且EX=2,EY==1,DX3，则EXXY⎡⎤⎣⎦()+−=2()(A)−3(B)3(C)−5(D)5二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.ln(cos)x(9)lim=.2x→∞xπsinx(10)2

5、(+=xx)d________.∫π−1cos+x2z(11)若函数z=zxy(,)由方程e+++=xyzxcosx2确定，则dz=________.(0,1)(12)设Ω是由平面x+yz+=1与三个坐标平面所围成的空间区域，则∫∫∫(xyz++23)dxdydz=__________.Ω20"02−12"02(13)n阶行列式##%##=___________.00"2200"−12(14)设二维随机变量（X，Y）服从正态分布N（1,0;1,1;0），则P{XY-Y<0}=.三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或验算

6、步骤.(15)（本题满分10分）3设函数f()xxa=+ln(1)++xbxxgxksin,()=x.若f()x与g()x在x→0时是等价无穷小，求abk,,的值.(16)（求本题满分10分）设函数f()x在定义域I上的导数大于零.若对任意的x∈I,曲线yfx=()在点0(,())xfx处的切线与直线x=x及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0)=2,求f()x的表000达式.(17)（本题满分10分）已知函数f()xy,=++xyxy，曲线C：22xyx++=y3，求f()xy,在曲线C上的最大方向导数.(18)（本题满分10分）（Ⅰ）设函数ux

7、vx(),()可导，利用导数定义证明[()()]uxvx′=uxvxuxvx′′()()()():+（Ⅱ）设函数uxux(),(),,()…ux可导，f()xuxuxux=()()"(),写出f()x的求导公式.12n12n(19)(本题满分10分)⎧⎪zx=−−2,22y已知曲线L的方程为⎨起点为A(0,2,0)，终点为B()0,−2,0，⎪⎩zx=,2222计算曲线积分I=++−+++∫(yzxzxyyxyz)dd()()d.L(20)（本题满分11分）设向量组ααα,,内3123R的一个基，βαα=2+2k，βα=2，βα31=++1()kα

8、3.113223（I）证明向量组βββ为R的一个基;123ααα,,（II）当k为何值时，存在非0向量ξ在基123与基ββ