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1、12卷3期龙岩师专学报1994年9月数学命题、推理与论证林尚垣,,、在中学教学教材教法这门课程里作为中学数学的逻辑基础数学命题推理与论证是十分重要的内容。大多数的教学过程接触的都是一些具体的命题、具体的推理和证明过程,而对于数学命题、推理与论证本身的逻辑思维基础则关心较少。本文就教学过程中,学生常受困惑的一些问题进行阐述.、一关于命题真假问题。数学命题的真假(正确与否)是数学教学最为关心的问题之一中学数学逻辑上只涉及二值逻辑(一,。,,个结论要么真要么假)如果是简单命题即不再包含其他任何子命题的命题那么命题的真假性.
2、.“41”4是由事实验证或由某一公理系统中的前此定义定理或公理来判断的比如比大和气比”、。“”,因而大分别就是真假的两个简单命题雪是白的这类与事实相符的判断被认为是正确的判断,,是真命题但是两个或两个以上的简单命题用逻辑联结词构成的复合命题逻辑上就只以逻辑真假.,“2,7”。,相论了比如说若是奇数则是偶数是逻辑真的命题设Pq是命题则蕴含式命题P~,是复合命题,只论其逻辑真假.值得注意的是,中学数学所论命题很大一部分是假言命题.对这些假,我们视前提,.,)为真时,。言命题(命题)为真所以当且仅当结论(也是命题整个命题才
3、是真(正确),,对于一个假的(错误的)具体的假言命题往往是靠举几个反例来证明其假性这种做法的科学性看起来是那么的显然。但是,如果追问,既然不能靠举几个例子来证明一个命题的正确性,为什么允许,,用几个例子来证实一个命题是错的呢?逻辑依据是什么?首先我们要知道一个具体的假言命题。“”。“,事实上是与全称量词联系在一起的对顶角相等是大家熟知的假言命题若两个角相等则必”,,“”,是对顶角是假的假言命题其实这后一命题是说对于一切给定的相等的两个角必然是对顶角。虽然我们可以找出许多对确实相等且又是对顶角的两个角,但也可以找到两个
4、虽相等而不对顶。“一”,“”,的角所以该命题错就错在全称量词切的使用上虽然该命题不出现一切两字但按汉语的,“”。,,,习惯这里实际上隐含一切两字因此我们举反例证实这类假命题错误实际上是举例证实命题不是对“”。其所有的一切外延都是对的,,,,。,对于命题p以}PI来表示其真值当}川~1时p是真命题;当}pl一0时P是假命题于是},,,pAq!一m动{}Pf!引川PVq卜1na州}川}引}据此可以用真值表很方便地判断复合命题的真。,,。,:,假按这种真值计算方法对多个命题变量的复合命题判断尤为方便比如对{PI~}q}~}
5、}~l,,}tl~};}~0则易知(P~妇~(P~qA:)VtV二:是真命题因为我们一眼便可看出1,川~。类,,。似地很快又可以验证P~q与>,q~>,P等价从而知原命题与其逆否命题必同真假逻,。:“辑等价变形往往可使我们选择出最简洁明辽的表达方式如果有班主任对学生说明天下,。”,。雨在逻辑上这句话是清楚的但令人感到十分别扭如果注意到PVq或者全班同学劳动与>7912卷3期龙岩师专学报1994年9月二石石石石石石石;石布蔽花二二声二二书二二二二二二二二石二‘石‘‘二‘石面石石q,:“,”。二p~逻辑等价那么完全可以这
6、样说如果明天不下雨那么全班同学就参加劳动两者意思,。完全一样而后者却明辽得多“”,,。在形如若p则q的蕴含式命题当中说q是P成立的必要条件学生往往感到难以理解但,,,。,是只要认识到P~叮与。,q~。,P逻辑等价则q是P成立的必要条件就很好理解了还有在,,,用语言叙述的命题中常见若干个条件蕴含某个结论的命题条件之间常用逗号隔开若用命题变,,Z。:、:、,量表达式则是形如PAP八九一q的蕴含式命题我们如何判断PPP的全部或部份对于q成立来说是充分的或必要的条件呢?,Zq,,,Z,3q。,:如果PAP八九~为真则称ppP
7、均为真是成立的充分条件若能证。~pAPAPa,;、Z、3。,Z:,为真则可知PPP均为真是q成立的必要条件也可以通过证明二(P八PAP)~,P为真:、:、3;,:、Z、。也即通过ppp中至少有一个比如P不成立时必然导致,不真来判断三个命题PPp均。,Z、,,;:q,,为真是q成立的必要条件现在进一步间假如保留pP不变如何回答P八PAP3~中P是,,;q、,,否为q成立的必要条件?当然可以通过证~P或>P~一来证实P是成立的必要条件但不“,Z3,q”‘能通过举几个当p不成立而保持p与P不变时会导致不成立的例子去证明P是
8、q成立的必要条:q。“P,件(不能指望举几个例子去证隐命题二P~二为真)不过我们可以通过举几个使不q”,q满足(保留其它条件不变)而能有成立的例子表明P不是成立的必要条件(这是因为有例子:,;,。表明不要P成立也可以有q成立可见p对,成立来说不是必要的如罗尔定理)、二关于推理。、、、、推理可分为合情推理与论证推理(见G波利亚著《数学与猜想》)通
