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1、考研数学一模考试卷一一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分,把答案填在题中横线上)−x(1)设y=e(ccos2x+csin2x)(c,c为∀常数)为某二阶线性常系数齐次微分方程1212(二阶导数项系数为1)的通解,则该方程为。(2)设ϕ(u,υ,w)有一阶连续的偏导数,z=z(x,y)是由ϕ(bz−cy,cx−az,ay−bx)=0所∂z∂z确定的函数,bϕ′−aϕ′≠0,则a+b=.12∂x∂y222(3)设Ω={(x,y,z)x+y+z≤1},则∫∫∫coszdV=。Ω1(4)设f(x)=,x∈[o,π]上的全体原函数是。21+cosxTT
2、(5)设a=(1,0,−3),A=E+kaa,其中E是3阶单位矩阵,k≠0,若A是正交矩阵,则k=。(6)已知随机变量X服从标准正态分布,在X=x(x∈k)条件下随机变量Y服从正态分布N(x,1),则Y的密度函数为。二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内)。(7)当x→0时,下面几个无穷小中阶数最高的是[]32(A)1+sinx−1(B)tanx−sinx2235−2x(C)4x+5x−x(D)e−cos2x(8)设[0,4]区间上y=f(x)的导函数的图形如右图
3、,则f(x)[](A)在(0,2)单调上升且为凸的,在(2,4)单调下降且为凹的(B)在(0,1),(3,4)单调下降,在(1,3)单调上升,在(0,2)是凹的,在(2,4)是凸的。(C)在(0,1),(3,4)单调下降,在(1,3)单调上升,在(0,2)是凸的,在(2,4)是凹的。(D)在(0,2)单调上升且是凹的,在(2,4)单调下降且是凸的。(9)下列4个命题:①设(x,f(x))是y=f(x)的拐点,则x=x不是f(x)的极值点。0001②设x=x是f(x)的极小值点,f(x)在x=x二阶可导,则f′(x)=o,f′′(x)>000oo③设f(x)
4、在(a,b)只有一个驻点x,且x是f(x)的极小值点,则f(x)是f(x)在(a,b)的00o最小值。④若f′−(b)<0,则f(b)不是f(x)在[a,b]的最大值。中正确的共有[](A)0个(B)1个(C)2个(D)3个(10)下列级数∞n−1∞n(−1)(−1)n1①∑`②∑tann=1nln(n+1)n=1(n+1)n+2n∞n∞n−11(−1)1③∑(−1)(+)④∑sin(n+)πn=1nnn=2lnn中条件收敛的是[](A)①,②(B)②,③(C)③,④(D)①,④(11)已知aaa是齐次线性方程组Ax=0的基础解系,那么Ax=0的基础解系还
5、可以是1,2,3[](A)a+2a−a,3a+5a+4a123123(B)a+2a,3a+7a,5a−4a123113(C)a+2a−a,3a+2a,4a−2a−a12323312(D)a+2a,3a+5a+a,a+2a+a13231312⎡2a−6−2⎤⎢⎥(12)已知A=a+31−4,B和C是某两个不同的3阶矩阵,那么a=7是使⎢⎥⎢⎣42−4⎥⎦AB=AC成立的[](A)充分必要条件(B)充分而非必要条件(C)必要而非充分条件(D)既非充分也非必要条件(13)设随机变量X与Y相互独立,且方差DX>0,DY>0,则[](A)X与X+Y一定相关(B)X与
6、X+Y一定不相关。(C)X与XY一定相关。(D)X与XY一定不相关。2(14)设总体X和Y相互独立且都服从正态分布N(0,σ),X,",X和Y,",Y分别是来1n1n22自总体X和Y容量都为n的两个简单随机样本,样本均值和方差分别为X,S;Y,S,则xY2[]2222(A)X−Y~N(0,σ)(B)S+S~x(2n−2)XY2X−YSX(C)~t(2n−2)(D)~F(n−1,n−1)22S2SX+SYY三、解答题22sinxcosx(15)设f(x)=arcsintdt+arccostdt∫0∫0ππ(Ⅰ)求f′(x)(0≤x≤)(Ⅱ)求f(x)(0≤x
7、≤)2222(16)设u(x,y)=u(r)(r=x+y),当r≠0时有连续的二阶偏导数且满足22∂u∂u1∂u2∂u2+=[()+()](*)22∂x∂yr∂x∂y求函数u(x,y)∞(2n)!!2n+1(17)设y(x)=∑xn=0(2n+1)!!(Ⅰ)求证:y(x)满足方程2(1−x)y′−xy=1,(x<1)∞arcsinx(2n)!!2n+1(Ⅱ)求证:=∑x(x<1)1−x2n=0(2n+1)(n)(Ⅲ)求y0a+b(18)设f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,且f(a)•f(b)>0,f(a)•f()<0,2求证:对任意给定的k∈(−
8、∞,+∞),存在ξ∈(a,b)使得f′(ξ)=kf(ξ)22⎧x+