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1、考研数学一模考试卷一一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）−x（1）设y=e(ccos2x+csin2x)(c,c为∀常数)为某二阶线性常系数齐次微分方程1212（二阶导数项系数为1）的通解，则该方程为。（2）设ϕ(u,υ,w)有一阶连续的偏导数，z=z(x,y)是由ϕ(bz−cy,cx−az,ay−bx)=0所∂z∂z确定的函数，bϕ′−aϕ′≠0，则a+b=.12∂x∂y222(3)设Ω={(x,y,z)x+y+z≤1},则∫∫∫coszdV=。Ω1（4）设f(x)=,x∈[o,π]上的全体原函数是。21+cosxTT
2、（5）设a=(1,0,−3),A=E+kaa,其中E是3阶单位矩阵，k≠0，若A是正交矩阵，则k=。（6）已知随机变量X服从标准正态分布，在X=x(x∈k)条件下随机变量Y服从正态分布N(x,1),则Y的密度函数为。二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）。（7）当x→0时，下面几个无穷小中阶数最高的是[]32（A）1+sinx−1（B）tanx−sinx2235−2x（C）4x+5x−x（D）e−cos2x（8）设[0，4]区间上y=f(x)的导函数的图形如右图
3、，则f(x)[]（A）在（0，2）单调上升且为凸的，在（2，4）单调下降且为凹的（B）在（0，1），（3，4）单调下降，在（1，3）单调上升，在（0，2）是凹的，在（2，4）是凸的。（C）在（0，1），（3，4）单调下降，在（1，3）单调上升，在（0，2）是凸的，在（2，4）是凹的。（D）在（0，2）单调上升且是凹的，在（2，4）单调下降且是凸的。（9）下列4个命题：①设(x,f(x))是y=f(x)的拐点，则x=x不是f(x)的极值点。000１②设x=x是f(x)的极小值点，f(x)在x=x二阶可导，则f′(x)=o,f′′(x)>000oo③设f(x)
4、在(a,b)只有一个驻点x,且x是f(x)的极小值点，则f(x)是f(x)在(a,b)的00o最小值。④若f′−(b)<0，则f(b)不是f(x)在[a,b]的最大值。中正确的共有[]（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个（10）下列级数∞n−1∞n(−1)(−1)n1①∑`②∑tann=1nln(n+1)n=1(n+1)n+2n∞n∞n−11(−1)1③∑(−1)(+)④∑sin(n+)πn=1nnn=2lnn中条件收敛的是[]（A）①，②（B）②,③(C)③,④(D)①,④(11)已知aaa是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，那么Ax=0的基础解系还
5、可以是1,2,3[]（A）a+2a−a,3a+5a+4a123123（B）a+2a,3a+7a,5a−4a123113（C）a+2a−a,3a+2a,4a−2a−a12323312（D）a+2a,3a+5a+a,a+2a+a13231312⎡2a−6−2⎤⎢⎥（12）已知A=a+31−4，B和C是某两个不同的3阶矩阵，那么a=7是使⎢⎥⎢⎣42−4⎥⎦AB=AC成立的[]（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既非充分也非必要条件（13）设随机变量X与Y相互独立，且方差DX>0,DY>0，则[]（A）X与X+Y一定相关（B）X与
6、X+Y一定不相关。（C）X与XY一定相关。（D）X与XY一定不相关。2（14）设总体X和Y相互独立且都服从正态分布N(0,σ),X,",X和Y,",Y分别是来1n1n22自总体X和Y容量都为n的两个简单随机样本，样本均值和方差分别为X,S;Y,S，则xY２[]2222（A）X−Y~N(0,σ)（B）S+S~x(2n−2)XY2X−YSX（C）~t(2n−2)（D）~F(n−1,n−1)22S2SX+SYY三、解答题22sinxcosx（15）设f(x)=arcsintdt+arccostdt∫0∫0ππ（Ⅰ）求f′(x)(0≤x≤)（Ⅱ）求f(x)(0≤x
7、≤)2222（16）设u(x,y)=u(r)(r=x+y)，当r≠0时有连续的二阶偏导数且满足22∂u∂u1∂u2∂u2+=[()+()]（*）22∂x∂yr∂x∂y求函数u(x,y)∞(2n)!!2n+1（17）设y(x)=∑xn=0(2n+1)!!（Ⅰ）求证：y(x)满足方程2(1−x)y′−xy=1,(x<1)∞arcsinx(2n)!!2n+1（Ⅱ）求证：=∑x(x<1)1−x2n=0(2n+1)(n)（Ⅲ）求y0a+b(18)设f(x)在[a,b]连续，在（a,b）可导，且f(a)•f(b)>0,f(a)•f()<0，2求证：对任意给定的k∈(−
8、∞,+∞)，存在ξ∈(a,b)使得f′(ξ)=kf(ξ)22⎧x+
