海文考研数学一模考试卷

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1、海文考研数学一模考试卷参考解答一、填空题（1）【答案】【分析】由通解的形式可知该方程的特征方程的两个特征根，，从而得知特征方程为=因此，所求微分方程为（2）【答案】c【分析1】方程两边分别对求偏导数得第一式乘加上第二式乘b得=因此，【分析2】两边求全微分得=（3）【答案】【分析】用先后的积分顺序，为,１５==(4)【答案】,其中【分析】=令则的全体原函数是【评注】在[，]连续，它一定存在原函数，因为在无定义，所以我们用不定积分法只是分别求得与上的原函数，我们只要在处将它们连续地拼接起来就得到在[o,]上的原函数。（5）【答案】-5【分析】A是正

2、交矩阵由于１５=而=(10-3)因此，【评注】本题考查矩阵的运算，正交矩阵的概念等，注意区别与，前者是一个数，后者是3阶矩阵（6）【答案】.【分析】由题设知X的密度函数，Y的条件密度函数=，所以（X，Y）的联合密度函数，=由此可知（X，Y）服从二维正态分布二、选择题（7）【答案】D【分析】(A),(C)均是2阶的。（B）是3阶的用泰勒公式１５未确定（D）的阶。由（D）是4阶的。因此应选（D）（8）【答案】B【分析】当或时在（0，1），（3，4）单调下降，当时在（1，3）单调上升。又在（0，2）单调上升在（0，2）是凹的，在（2，4）单调下降在（

3、2，4）是凸的。因此，应选（B）（9）【答案】B【分析】要逐一分析它们是否正确命题①是错的。函数图形如图所示则是的拐点且是的极小值点。命题②是错的，在极小值点处可以有如是的极小值点。命题③是错的，若加条件：是（）连续，则该命题正确；若不连续，则命题不正确，如图所示，在（）有唯一驻点，是的极小值点，但不是在的最小值。命题④是正确的，若是在的最大值且存在，则于是当不可能是在[]的最大值。因此，选（B）１５（10）【答案】D【分析】这四个级数中有两个是条件收敛的，而另外两个不是条件收敛的。【分析1】级数②的一般项取绝对值后是②是绝对收敛级数③的一般项

4、收敛，发散级数③发散因此，只能有①与④条件收敛应选（D）【分析2】级数①是条件收敛的单调下降趋于零发散发散级数①条件收敛级数④的一般项单调下降趋于零交错级数④收敛，但发散，级数④是条件收敛，因此，选（D）【评注】①发散②熟悉结论才可知级数①条件收敛（11）【答案】D１５【分析】由是的基础解系，知的基础解系由的3个线性无关的解向量所构成。由，即必是的解，现在（A）中只有2个解向量，向量个数不符合要求应舍去。（B）、（C）、（D）均是3个解向量，那一组是线性无关的呢？在（B）中，若令由于三个向量可以由两个向量线性表出，所以必线性相关，应舍去。对于（

5、C），由行列式而知线性相关，舍去，故应选（D）。【评注】本题考查基础解系的概念及线性无关的判定方法（12）【答案】B【分析】由B≠C，A（B-C）=0，知齐次方程组有非零解，而有非零解的充分必要条件是。因为当时，但当时，亦可为1，所以是充分而非必要条件。【评注】本题考查若AB=0，则B的列向量是齐次方程组的解，以及有非零解的充分必要条件。（13）【答案】A【分析】直接通过计算协方差来判断已知X和Y独立，故cov(X,Y)=0,cov(X,X+Y)=cov(X,X)+cov(X,Y)=DX>0.所以X与X+Y一定相关，选择（A）。又由于:故选项（

6、C）、（D）有时成立，有时不成立。（14）【答案】D１５【分析】这是一道概念性、理论性选择题，应用已知结论即可确定正确选项。事实上，由题设知，，，，相互独立，且由此可知选择（D）三、解答题（15）【分析与求解】（Ⅰ）=(Ⅱ)因为常数==（半径为1的圆的面积）=16【分析与求解】由复合函数求导法，建立对的偏导数与对的导数的关系，把方程（*）转化为的常微分方程，然后求出。是与的复合函数１５将它们相加得于是方程（*）变成令，降价得这是可分离变量的方程，分离变量并积分得解出为常数对再积分得（）()或写成１５为常数及（17）【分析与求解】（Ⅰ）先求幂级数

7、的收敛半径，=收敛半径。再对幂级数逐项求导求得现按所要证明的等式的提示，将此级数分解成===（Ⅱ）从等式右端得左端即求和函数y(x),已知，由题（Ⅰ），求y(x)即求微分方程的初值问题这是一阶线性方程，标准化后是两边乘得积分得１５即（Ⅲ），则由由（18）【分析与证明】即证明函数在存在零点在（）存在零点为了对用罗尔定理，在内要找两点使得。由已知条件知，，存在使得，在上可导，由罗尔定理，即结论成立。（19）【分析与求解1】用斯托克斯公式把平面被柱面所截部分记为，其边界L，按右手法则，取上侧。由斯托克斯公式１５=投影到平面上求曲面积分，（），于是代公

8、式得【分析与求解2】投影到平面上。记L到平面上的投影为，也取逆时针方向，围成的区域为用代入得==【分析与求解3】写出L的参数方程后套公式直接计算L为于