变分学习题 (一).pdf

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1、变分学习题（一）1．求函数u=u(t)通过两点(0,0)与(1,1)使下列泛函达到极小：122(1)I(u)=∫(u"+2u"+u)dt012(2)I(u)=∫u"1(+u")dt0122(3)I(u)=∫(1+u"−1−u")dt02．用最小作用原理，求下列问题的运动规律：(1)平面单摆运动：单摆质量为m，绳索长度为l（其重量不计）。(2)弹簧的水平运动（由虎克定律：弹簧贮存的拉力正比于其由休止到拉伸的位移）。(3)弹簧组（如下图）的运动：3．求极小：l21(1)I(u)=∫u(x)1−u"(x)

2、dx,M={u∈C([,0l])

3、u)0(=u(l)=0}03221(2)I(u)=∫u1(−u")dt,M={u∈C([3,2])

4、u)2(=,1u)3(=3}2Rtdt(3)I(u)=∫01+u"2Tu0(4)I(u)=∫[Auln()−Bu−C]dt,A,B,C>0是常数0u4．求平面上连接两定点(0,0)与(a,b)的弧长最短的曲线。变分学习题（二）一．求弱极小:121(1)I(u)=(ut&+u&)dt，u∈C([1,0])∫00b21(2)I(u)=∫u1+u&dt,M={v∈C([a,

5、b])

6、v(a)=cha,v(b)=chb},a其中0

7、v)0(=,0v(b)=B}0二．试证：当ϕ绝对连续，并且几乎处处导数ϕ′平方可积，满足/ϕ(a)=0时，有Poincare不等式：2b2(b−a)b2∫∫ϕ(x)dx≤ϕ′(x)dxa2a三．在3R中，考虑以曲线r=r(z)>0绕z轴旋转得到的一个旋转曲面22S:r=x+y(1)求S上的导出度量(2)写出测地线的方程(3)分别就r=const（圆柱），r=z（圆锥）

8、写出测地线，判断它们是否弱极小变分学习题（三）1．验证：221I(u)=∫u1(+u&)dtM={u∈C([2,0])

9、u)0(=,2u)2(=}50有一个双参数族的(E−L)方程解：1t+β2ut,(α,β)=α+()α2当(α,β)=)2,1(时，ut)2,1,(∈M。2．利用ut,(α,β)确定两个独立的Jacobi场。b213．设I(u)=1+u&在C([,0b])上定义,写出包含u≡0的临界场∫000ψt,(u)并验证它是一个强极小。22214．设I(u)=∫(u&+tu&)dtM={v∈

10、C([2,1])

11、v)1(=,1v)2(=}21验证2u(t)=−+30t是一个强极小。变分学习题（四）1．给定下列Lagrangian，求Hamiltonian，并求解Hamilton系统：(1)2L=(p+ku)k≠0,12(2)L=p−pu,2−u2(3)L=e1+u&。2.对上题(1)，(3)写出HamiltonJacobi方程，并试求其完全解。3.设∀t,(u)，Lt,(u,p)对p是凸的，求证：Ht,(u,ξ)=sup{−Lt,(u,p)}。Np∈R变分学习题（五）11．求Mi

12、n{I(u

13、)u∈C([1,0]),u)0(=,0u)1(=,2N(u)=L}，其中12I(u)=∫u&dt，01N(u)=∫udt。02．Dino女王问题：1求Max{I(u

14、)u∈C([,0b]),N(u)=L}，其中0bI(u)=∫ut)(dt，0b2N(u)=∫1+u&dt。03．确定在等周约束b2∫rt)(u(t)dt=1a下，b222I(u)=∫[u&&−pt)(u&+qt)(u]dta的（E−L）方程，其中p,q,r都是[a,b]上的连续函数，u满足边界条件u(a)=u&(a)=u(b

15、)=u&(b)=0。4．求泛函122I(u)=(u&+u&)dt∫120在约束2u+(u−t)=0，u)0(=u)0(=0，u)1(=1，u)1(=0211212下的极值。变分学习题（六）22161．设L=t(p−u)，又设{φ}定义如下：ε3⎧Y(t,u,ε)=(1+ε)t⎪⎨u，W(t,u,ε)=⎪(1+ε)1/2⎩求证：11226(1)I(u)=t(u&−u)dt是{φ}不变的；∫ε03(2)若u是I的（E−L）方程的解，则3t6322u+tu&+tuu&=const。32．设2L=(p+ku

16、)，其中k是一常数，又设{φ}定义为ε⎧Y(t,u,ε)=t+ε⎨−kt1⎩W(t,u,ε)=u+εαeα∈R12(1)验证：I(u)=(u&+ku)dt是{φ}不变的；∫ε0(2)若u是I的（E−L）方程的解，求u满足的守恒率；(3)用转化为Hamilton系统的方法解出u；(4)对于这个u，验证(2)的结论。n123．对于Ω⊂R，I(u)=∫Ω∇u(x)dx，2设{φ}的生成向量场是：εX=e，U=0，1其中e=(1,0,K.0)，验证Noether定理。1变分学