2012全真模拟测试卷答案(数三).pdf

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1、机密★启用前2012年全国硕士研究生入学统一考试(万学海文钻石卡全真模拟测试卷答案)数学(三)注意事项1．本试卷考试时间180分钟，满分150分.2．试卷后面附有参考答案，供钻石卡学员测试后核对.一、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)12345678DABCCBDA⎧1⎧cosx,x≥0,⎪xsin,x≠0,(1)设f(x)=⎨g(x)=⎨x则在区间(-11)，上()⎩sinx,x<0,⎪⎩0,x=0.(A)f(x)与g(x)都存在原函数.

2、(B)f(x)与g(x)都不存在原函数.(C)f(x)存在原函数,g(x)不存在原函数.(D)f(x)不存在原函数,g(x)存在原函数.【答案】应选(D).【解析】g(x)在区间(−1,1)上连续,所以在(−1,1)上存在原函数.不选B与C.将f(x)在区间⎧sinx+C1,x>0,(−1,0)与(0,1)上分别积分,得∫f(x)dx=⎨−cosx+C,x<0.⎩2⎧sinx+C1,x>0,要使得在x=0处连续,需C2=1+C1,令F(x)=⎨−cosx+1+C,x<0.⎩1容易验算,知F′(0)=0,F′(0)=1.无论C取何值,F(

3、x)在x=0处不可导,故f(x)在包含−+1x=0在内的区间上不存在原函数,不选A.故选(D).2fxyxy(,)−+(2)已知函数f(,)xy在点(0,0)的某一邻域内连续,且lim=1,则()22x→0xy+y→0(A)点(0,0)不是f(,)xy的极值点.(B)点(0,0)是f(,)xy的极大值点.(C)点(0,0)是f(,)xy的极小值点.(D)无法判断点f(,)xy是否为极值点.【答案】应选(A).2f(x,y)−x+y【解析】由于lim=1,那么，沿直线y=0,x→0x2+y2y→02f(x,0)−xf(x,0)f(x,0)

4、=lim=lim−1=1lim=2>0,由极限的保号性,必原极限x→0x2x→0x2,即x→0x2y→0存在（0,0）的某邻域,使f(x,0)>0.2类似地,沿曲线yx=3,针对性教学：一切以提高学习成绩为宗旨1f(x,3x2)+2x2222f(x,3x)xf(x,3x)=lim=lim⋅+2=1lim=-1<0.原极限x→0x2+9x4x→0x2x2+9x4,即x→0x22y=3x2于是也存在点（0,0）的某邻域,使f(x,3x)<0.故点（0,0）不是f(x,y)的极值点,应选(A).8a22ayy−(3)在极坐标下，累次积分5dy

5、fxydx(,)=()∫∫02aay−−422π4cosaθ(A)∫∫2dfθθ(cos,sin).rrθrdr02asinθπarctan22sinaaθθ4cos(B)∫∫dfθθ(cos,sin)+rrrθθθdrdf∫∫2(cos,sin).rrrθdr00arctan20πarctan24cosaaθθ2sin(C)∫∫dfθθ(cos,sin)rrθθθrdrdf+∫∫2(cos,sin)rrθrdr.00arctan201πarctan2sinaaθθ4cos(D)22dfθθ(cos,sin)+rrrθθθdrdf(co

6、s,sin).rrrθdr∫∫00∫∫arctan102【答案】应选(B).2228【解析】积分域D={(x,y)2a−4a−y≤x≤2ay−y,0≤y≤a}.5222边界曲线x=2ay−y,x=2a−4a−y,图如下.y2a48两曲线的交点（a,a）,在极坐标下,55aD边界曲线方程分别为：r=2asinθ,r=4acosθx02a交点处：θ=arctan2.0所以原积分πarctan22asinθ4acosθ=∫∫dθf(rcosθ,rsinθ)rdr+∫∫2dθf(rcosθ,rsinθ)rdr.故应选(B).00arctan20

7、(4)设有两个数列{ab},,{}若lima=0,则()nnnn→∞∞∞∞∞(A)当∑bn收敛时，∑abnn收敛.(B)当∑bn发散时，∑abnn发散.n=1n=1n=1n=1∞∞∞∞2222(C)当∑bn收敛时，∑abnn收敛.(D)当∑bn发散时，∑abnn发散.n=1n=1n=1n=1【答案】应选(C).【解析】讨论抽象的数项级数的敛散性，作为应试，举例排除法不失为一个好方法，但举例针对性教学：一切以提高学习成绩为宗旨2并非易事.直接正面证明某选项正确，可以加深对定理的理解和应用.∞∞排除法：由于未设{abnn},{}为正项，从收

8、敛性较弱的交错级数∑an，∑bn入手，易n=1n=1∞∞nn11举出∑abnn都发散的例子，例如abnn=−(1),=−(1),有limabnn=0,∑收敛，n=1nnn→∞n=1∞但∑abnn却发散，A不