李林2015年概率讲义_研究生入学考试_高等教育_教育专区.pdf

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1、2015考研数学暑期强化班讲义——李林第三篇概率统计第一讲事件与概率考纲要求1.了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算.2.理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式.3.理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法.一、事件运算与关系问题1何谓样本空间？何谓随机事件？答随机试验的所有可能结果组成的集合称为该试验的样本空间，样本空间的元素称为样

2、本点.样本空间的子集称为随机事件.样本空间称为必然事件，空集称为不可能事件，只含一个样本点的子集称为基本事件.由于随机事件是样本空间的子集，因此可以用集合方法研究事件.问题2叙述事件的关系与运算.答事件的关系与运算有⑴包含：若A发生必导致B发生，则称A包含于B，记作A⊂B；⑵相等：若A包含于B且B包含于A，则称A与B相等，记作A=B；⑶和事件：“A与B至少发生一个”称为A与B的和事件，记作AB∪；⑷积事件：“A与B同时发生”称为A与B的积事件，记作AB∩或者AB；⑸差事件：“A发生，B不发生”称为A与B的差事件，记作A−B或者AB；⑹逆事件(对立事

3、件)：“A不发生”称为A的逆事件或者对立事件，记作A；⑺互不相容（互斥）：若A与B不能同时发生，则称A与B互不相容或者互斥，记作AB=∅；⑻完备事件组：若AA∪∪"∪A=Ω，AAi=∅≤<≤(1jn)，则称AA,,,"A为12nij12n完备事件组；⑼A与B相互独立：PAB()=PAPB()()；⑽n个事件AA,,,"A相互独立：其中任意kkn(2≤≤)个事件的积的概率等于它们的概12n率之积.问题3叙述事件的运算律.答事件的运算律就是集合的运算律，主要有-1-2015考研数学暑期强化班讲义——李林⑴交换律：A∪∪BBA=，ABB=A；⑵结合律：(

4、)A∪∪BCABC=∪∪()，()ABCABC=()；⑶分配律：A()B∪∪C=(AB)(AC)，A∪∪()()BC=ABAC(∪)；⑷对偶律：ABAB∪∩=，ABAB∩∪=.问题4证明下列关于独立性的命题：⑴若A与B独立，则A与B，A与B，A与B独立.⑵当PA()0>，PB()0>时，若A与B互斥，则A与B不独立.⑶当PA()0,()1>PB<时，若A⊂B，则A与B不独立.⑷概率为（或者概率为01）的事件与任一事件A独立，特别，不可能事件∅与任一事件A独立，必然事件Ω与任一事件A独立.⑸若个事件nAA,,,"A相互独立，则它们两两独立，其逆命题不

5、成立.12n例1.设A,B为随机事件，且满足AB=AB，则（）.【B】(A)AB∪=∅(B)A∪B=Ω(C)A∪B=A(D)A∪B=B2.对于任意二事件A和B，与A∪B=B不等价的是（）.【D】(A)A⊂B(B)B⊂A(C)AB=∅(D)AB=∅3.设A,B为两事件，且P(AB)=0，则（）.【C】(A)A与B互斥(B)AB是不可能事件(C)AB未必是不可能事件(D)P(A)=0或P(B)=0【注概率为零的事件不一定是不可能事件】4.设A,B为两事件,且0()1<

6、互独立(D)B⊂A.5.对于任意二事件A和B，有（）.【B】-2-2015考研数学暑期强化班讲义——李林(A)若AB≠∅,则A,B一定独立(B)若AB≠∅,则A,B有可能独立(C)若AB=∅则A,B一定独立(D)若AB=∅,则A,B一定不独立6.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A={第一次出现正面}，A={第二次出现正面}，12A3={正、反各出现一次}，A4={正面出现两次}，则事件（）.【C】(A)A1,A2,A3相互独立(B)A2,A3,A4相互独立(C)A1,A2,A3两两独立(D)A2,A3,A4两两独立二、古典概型与几何概型问题5如何

7、计算古典型概率？nA答若样本空间Ω仅包含有限个等可能的样本点，则任一事件A的概率PA()=，其中nn为Ω包含的样本点数，n为A包含的样本点数.A常用计数方法：分类用加法，分步用乘法，有序用排列，无序用组合，穷举法.常犯的错误是计算样本点数时漏算和多算.问题6如何计算几何型概率？sAs答若样本空间Ω包含无限个等可能的样本点，则任一事件A的概率PA()=，其中为sΩ的度量（长度、面积、体积），s为A的度量.A例1.袋中装有10个球，其中红球6个，白球4个，从中任取3个球，则至少取到两个红球的概213CCC+646率为.【】3C102.袋中装有6个球，其

8、中红球1个，白球2个，黒球3个，从中每次取一个，取后放回，共1取两次，则取到1个白球、1个黒球的概率为.【】33.袋中装有