习题7 课后答案.pdf

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1、习题七1.证明：如果f(t)满足傅里叶变换的条件，当f(t)为奇函数时，则有f(t)b()sintd02其中b()ftsintdtπ0当f(t)为偶函数时，则有f(t)a(w)costd0其中a()2f(t)costdt0证明：1it因为f(t)G(e)d其中G()为f(t)的傅里叶变换2πitGf()()tedtf()(costtisin)tdtf()costtdtift()sintdt当f(t)为奇函数时，f(t)cos

2、t为奇函数，从而f(t)costdt0f(t)sint为偶函数，从而f(t)sintdt2f(t)sintdt.0故G()2if(t)sintdt.有G()G()为奇数。01it1f(t)G()edG()(costisint)d221i=Git()sindG()sintd2ππ0所以，当f(t)为奇函数时，有2f()ttb()sind.其中b()=f()sinttdt.00π同理，当f(t)为偶函数时，有

3、2f()ta()cosdt.其中af()()costtdt0π0t2,t12.在上一题中，设f()t.计算a()的值.0,t1解:22122a()ft()costtdtcosttd0costtdππ00π12211221ttcosdtttd(sin)ππ0022112ttsinsint2dttππ002sin41td(cost)π202sin411ttcoscostdtπ2002sin4cos4sin

4、23sin,tt6π3.计算函数ft()的傅里叶变换.0,t6π解:6πititFf()ftet()dsintetd6π6πsintt(cositsin)dt6π6π2sittinsindt0isin6π2π(1)4.求下列函数的傅里叶变换t(1)()fte解：it

5、

6、tit(

7、

8、tit)Ff()f()tedteedtedt02ti(1)ti(1)etetdd0122t(2)f()tte

9、22222tt4/tt解：因为F[eee]π.()而e(2t)2te.2t2π所以根据傅里叶变换的微分性质可得Gt()F(e)e42isinπt(3)ft()21t解：sinπtitGf()F()()edt1t2sinπt(costisintt)d1t21[cos(π)cttos(π)]sinπttsin2itd2idt11tt220cos(π+)ttcos(π-)itddit(利用留数定理)0011tt22i

10、sin,当

11、

12、π20,当

13、

14、π.1(4)ft()41t解:1citosttsinGe()dttdidt11tt441t4costtcos2dttd011tt44122令R(z)=，则R(z)在上半平面有两个一级极点(1ii),(1).41z2222itizizR()tetd2πiResze[R(),(1i)]2πiResze[R(),(1i)]22itcoste1

15、

16、/2

17、

18、

19、

20、故.dRtte[d]e(cossi

21、n)11tt442222t(5)ft()41t解:titGe()dt1t4ttsintcosttiddt11tt44ttsinitd1t4z同(4).利用留数在积分中的应用,令R()=z41z则itttsinteitd()iIm(dt)11tt44.i

22、

23、/2esin225.设函数F(t)是解析函数，而且在带形区域Im