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时间:2020-03-26
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1、数值计算方法习题一(2)1习题二(6)习题三(15)习题四(29)习题五(37)习题六(62)习题七(70)2009.9,9习题一41.设x>0相对误差为2%,求x,x的相对误差。解:由自变量的误差对函数值引起误差的公式:∆(())fxxδ(())fx=≈fx'()()δx得fx()fx()(1)fx()=x时x112δ(x)≈(x)'()δx=δ()x=*2%1%=;x224(2)fx()=x时4x4δ(x)≈(x)'()δx=4()δx=4*2%=8%4x2.设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差不超
2、过最后一位的半个单位,试指出他们各有几位有效数字。(1)x̃=12.1;(2)x̃=12.10;(3)x̃=12.100。解:由教材P关于x̃=±aa⋯abb.⋯⋯b型数的有效数字的结论,易得上面三个数的有效912m12n数字位数分别为:3,4,53.用十进制四位浮点数计算(1)31.97+2.456+0.1352;(2)31.97+(2.456+0.1352)哪个较精确?解:(1)31.97+2.456+0.135221≈flfl((0.319710×+0.245610)0.1352)×+2=fl(0.3443
3、10×+0.1352)2=0.3457×10(2)31.97+(2.456+0.1352)21≈fl(0.319710×+fl(0.245610))×21=fl(0.319710×+0.259110)×2=0.3456×102易见31.97+2.456+0.1352=0.345612×10,故(2)的计算结果较精确。4.计算正方形面积时,若要求面积的允许相对误差为1%,测量边长所允许的相对误差限为多少?2∆(())fxx解:设该正方形的边长为x,面积为fx()=x,由δ(())fx=≈fx'()()δxfx()f
4、x()2δ(())()fxfxδ(())fxxδ(())fx解得δ()x≈===0.5%xfx'()xxi225.下面计算y的公式哪个算得准确些?为什么?211−x2x(1)已知x<<1,(A)y=−,(B)y=;12+x1+x(12)(1+x+x)2113(2)已知x>>1,(A)y=,(B)y=x+−x−;11xxx(x++x−)xx22sinx1cos2−x(3)已知x<<1,(A)y=,(B)y=;xx1(4)(A)y=−980,(B)y=9+80解:当两个同(异)号相近数相减(加)时,相对误差可能很大,
5、会严重丧失有效数字;当两个数相乘(除)时,大因子(小除数)可能使积(商)的绝对值误差增大许多。故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。(1)(A)中两个相近数相减,而(B)中避免了这种情况。故(B)算得准确些。(2)(B)中两个相近数相减,而(A)中避免了这种情况。故(A)算得准确些。2(3)(A)中sinx使得误差增大,而(B)中避免了这种情况发生。故(B)算得准确些。(4)(A)中两个相近数相减,而(B)中避免了这种情况。故(B)算得准确些。6.用消元法求解线性代数方程组1515⎧x+10x=1012⎨⎩x+x
6、=212假定使用十进制三位浮点数计算,问结果是否可靠?解:使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为11616⎧⎪0.10010×x+0.10010×x=0.10010×⋯⋯⋯⋯(1)12⎨111⎪⎩0.10010×x+0.10010×x=0.20010×⋯⋯⋯⋯⋯(2)1216161(1)(-2)得0.10010×x=0.10010×,即x=0.10010×,把x的值代入(1)得x=0.000;22211把x的值代入(2)得x=0.10010×2111⎧⎪x10.10010=×⎧⎪x10.10010=×解⎨不满
7、足(2)式,解⎨不满足(1)式,故在十进制三位浮11⎪⎩x2=0.00010×⎪⎩x2=0.10010×点数解该方程用消元法计算结果不可靠。327.计算函数fx()=x−3x+3x−1和gx()=((x−3)x+3)x−1在x=2.19处的函数值(采用十进制三位浮点数计算)。哪个结果较正确?1111解:f(2.19)=0.480×10×0.219×10−3×0.480×10+0.657×10−1221=0.105×10−0.144×10+0.657×10−141=0.16710×11g(2.19)=((−0.81
8、)×0.219×10+3)×0.219×10−1111=0.123×10×0.219×10−1=0.16910×11即fx()=0.16710×,gx()=0.16910×32而当x=2.19时x−3x+3x−1的精确值为1.6852,故gx()的算法较正确。8.按照公式计算下面的和值(取十进制三位浮点数计算):6111(1)∑i;(2)∑i。i=13i=63611111
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