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《数学答案:【2012考研学员普发】公共课阶段测评答案—.pdf》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、机密★启用前2012届全国硕士研究生入学统一考试(海文考研公共课标准课程基础阶段测试卷答案)高等数学(数三)(第二次)答题注意事项1.本试卷考试时间90分钟,满分100分.2.试卷后面附有参考答案,供学员测试后核对.1/5一、(本题满分4分)【答案】D.【解析】因为f′(0)存在,所以f(x)在x=0处连续,又f(x)是奇函数,故f(0)=0,且2tanxlimF(x)=limf(x)⋅=0⋅1=0,于是F(x)在x=0处连续,2x→0x→0ex−12tanxf(x)⋅−02F(x)−F(0)ex−1F′(0)=lim=limx→0
2、x−0x→0x2f(x)−f(0)tanx=lim⋅=f′(0)⋅1=f′(0),故F(x)在x=0处可导,应选D.2x→0x−0ex−1二、(本题满分4分)【答案】B.【解析】方法一排除法.∞1(A)的反例,取an=,有limnan=0,但∑an发散.()()nn++1ln1n→∞n=1∞12(C)的反例,取an=3,∑an收敛,但limnan=∞.n→∞n2n=1∞1(D)的反例,取an=,∑an发散,但limnan=0.故(A)、(B)、(D)()()nn++1ln1n=1n→∞排除掉,只能选(B).∞a1n方法二证明(B)是
3、正确.limnan=λ,即lim=λ.因为∑发散,由比较n→∞n→∞1nn=1n∞判别法的极限形式知,∑an也发散,选(B).n=1三、(本题满分6分)【答案】-1.−(x+y)2dyx22【解析】视y=y(x)是x的函数,两边对x求导,于是e(1+)=∫sintdt+xsinxdx0dy令x=0,则右端为零,所以=−1.x=0dx四、(本题满分6分)x【答案】yxe−.2/5∂uxxx【解析】由=x,得uxyxycx(),=+(),又uxe(,)=xecxe+=()∂yxx∂ux于是cx()(=−1xe),uxyxy(),1=+−
4、(xe),所以=−yxe.∂x五、(本题满分12分)122x2(1sin2+−xe)设lim=a(a≠0),求n及a的值.nx→0x1122222ln1sin2()+−x2()1sin2+−xexex−12【解析】lim=limennxx→→00xx24cos2xxln1sin2+−x222x−4x2222()21sin2+x24cexxos2−−1sin2=elim=elim=limn+2n+1nx→0xx→0()nx+2nx+2x→022222244ex−−sin2x4xcos2x16exsin2+cos2x=lim=−=lim
5、a.n−1n−2nn+2x→0xnn()+2x→0x由题意可知,此极限值a不为零,又因为此时分子极限存在且不等于0,所以分母极限216e2必存在且也不等于0,故n=2,且此时ae=−=−2.24×六、(本题满分12分)ab+2设f()x在区间[,]ab上可导,且满足f()cosbb=∫2f()cosxxdx,其中ba−aπ0<<6、、可导.由积分中值定理,可知存在一点ca∈(,)使得22ab+22ab+Fb()==∫2fx()cosxdxFc()(−a)=Fc()ba−−aba2显然,函数Fx()在[,]cb上满足罗尔定理,所以由罗尔中值定理得:至少存在一点ξ∈(,)(,)cb⊂ab使,Ff′()ξ=′()cosξξξξ−=f()sin0.即ff′()ξ=()tanξξ,ξ∈(,)ab.七、(本题满分13分)3/522计算二重积分I=+∫∫()xydxdy,其中Dx={(,)
7、(yx++−≤≥1)(y1)2,yx−}.D【解析】画出积分区域,如右图.在极坐标x
8、r=cosθ,yr=sinθ下,积分域边界曲线方3程为:r=−2(sinθcos)θ,θ=π,积分域为4π3πyDr=≤{(,)
9、0θθr≤−≤2(sincos),θθ≤}443πD2(sinθθ−cos)所以I=+()xydxdy=4dθθr(sinc+osθ)rdry=-x∫∫∫π∫0D483πox43=+−(sinθcos)(sinθθθθcos)d∫π343π2844=−=(sinθθcos).π334八、(本题满分13分)x设函数y=yx()满足微分方程y′′−+=322yye′,其图形在点(0,1)处的切线与曲线2y=−
10、+xx1在该点处的切线重合,求函数y=yx().x2【解析】方程y′′−+=322yye′对应的齐次方程的特征方程为λλ−320+=,特征根为x2xλ==1,λ2,故对应的齐次方程的通解为Ce+Ce.1212*x因为a=1为特征方程的