答案与提示(第五章).pdf

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1、答案与提示第五章线性变换、特征值和二次型§1线性空间1．（1）是；（2）是；（3）是；（4）b0时是线性子空间，b0时不是。2．（1）是；（2）a0时是线性空间，a0时不是；（3）是。3．略。T4．维数：1。基：(1,1,1)。5．提示：参见例5.1.8。6．1211201/31（1）414；（2）112；（3）1/3；（4）1。03111101~T~T7．ε(4,0,5)，ε(3,0,4)。12T~~若x

2、S在基{，}下的坐标为(,)，在基{,}下的坐标为121212T(,)，则121121122。21321328．（1）提示：按定义验证；1243（2）014；（3）3。0011§2线性变换及其矩阵表示1101001．（1）是，011；（2）不是；（3）是，020。101001122．。541123．

3、220。3021244．（1）提示：直接验证；（2）014；001124124（3）014；（4）014。0010015．略。6．提示：必要性：若A为可逆变换，则AaAaAa01122kk1a12a2kak012k0，因此{Aa,Aa,…,Aa}线性无关。12k充分性：若xaaaU，使得Ax0，则1122kk1Aa12Aa2kAak012

4、k0，即x0。A为单射。注意A也为满射A为可逆变换。§3特征值问题TT1．（1）2，ξ(0,0,1)；1，ξ(1,2,1)；11232T（2）2，ξ(1,0,0,0)；12341TTT（3）11，ξ1(3,1,3)，232，ξ2(2,1,0)，ξ3(2,0,1)；TT131153i1533i（4）1，ξ(1,1,1)，i，ξ1,,，1122221414T131153i1533ii，ξ1,

5、,；3223141422．提示：因为AI且A的特征值全为1，则

6、AI

7、0以及(AI)(AI)O。3．

8、B

9、288，

10、A5I

11、72。4．（1）可逆；（2）可逆。5．1或2。6．(2n3)!!。n1n223nn2n17．（1）y2x22x2x3；（2）Ay223。n3n2223nnnnn42424nn8．A040。nnn02429．limx5，limy5。nnnnn10．limAO3

12、3。n111．提示：用反证法。若APdiag(,,,)P，则12nkkkk1APdiag(,,,)P。12nk因此AO可以推出0，于是AO，与题设矛盾。12n§4内积和正交变换1．（1）(x,y)5，

13、

14、x

15、

16、6；（2）(x,y)0，

17、

18、x

19、

20、3；（3）(x,y)1i，

21、

22、x

23、

24、10。1133112212．（1）1，；（2），3。301211

25、13336362663323636263．（1），；（2），6，。3623636063603032n4．提示：作x=ciεi与εi的内积。i15．238238695019019595

26、03803853951919952225（1），；（2），，，。233823385952382380190233823389538