【课堂新坐标】（广东专用）2014高考数学一轮复习 专题突破（一）.ppt

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1、利用导数研究函数的单调性是高考的热点，多与一元二次不等式相联系，根据导数与函数单调性的关系，研究函数的单调性，实际上就是讨论导函数f′(x)的函数值正负的问题．已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．【思路点拨】(1)通过f′(x)≥0求单调递增区间；(2)转化为恒成立问题，求a.【规范解答】(1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.令f′(x)≥0，得ex≥a，当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立；当a＞0时，有x≥lna.综上

2、，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a＞0时，f(x)的单调增区间为[lna，＋∞)．(2)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即a≤ex，x∈R恒成立．∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.当a＝0时，f′(x)＝ex在R上，f′(x)＞0恒成立．故当a≤0时，f(x)在定义域R内单调递增．【反思启迪】利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)＞0(或f′(x)＜0)仅是f(x)在某个区间上为增函

3、数(或减函数)的充分条件，在(a，b)内可导的函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.设0＜a≤1，讨论函数f(x)＝lnx＋a(1－a)x2－2(1－a)x的单调性．且当0＜x＜x1或x＞x2时，g(x)＞0，∴f′(x)＞0.因此f(x)在(0，x1)与(x2，＋∞)内为增函数；当x1＜x＜x2时，g(x)＜0，f′(x)＜0，∴f(x)在区间(x1，x2)内是减函数．利用导数判断函数的零点个数是

4、近两年高考命题的亮点，求解时应把函数的零点存在性定理，函数的单调性、极值点等综合起来考虑，最后数形结合求得结果．【思路点拨】(1)分a＝0、a＜0和a＞0三种情况求函数f(x)的最大值；(2)先用零点存在性定理判断有无零点，再根据函数的单调性判断零点的个数．(2013·惠州模拟)已知函数f(x)＝x2＋alnx的图象在点P(1，f(1))处的切线斜率为10.(1)求实数a的值；(2)判断方程f(x)＝2x根的个数，证明你的结论．(1)不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题；(2)证明不等式，转化为证明函数的单调性问题．【思

5、路点拨】(1)不等式恒成立问题，转化为函数最大值小于或等于0求解；(2)利用函数的单调性求解．【反思启迪】1.本题(1)中f(x)≤g(x)恒成立，则g(x)的图象应恒在f(x)的图象上方，从而a≤0不合题意．2．与不等式有关的问题最终可转化为函数的最值与0的关系．【解】(1)因为f(x)＝ax＋xlnx，所以f′(x)＝a＋lnx＋1.因为函数f(x)＝ax＋xlnx的图象在点x＝e处的切线斜率为3，所以f′(e)＝3，即a＋lne＋1＝3，所以a＝1.所以k＜[g(x)]min＝x0∈(3，4)，故整数k的最大值是3.