【创新设计】2011届高三数学一轮复习 8.41 抛物线的简单几何性质课件 理 大纲人教版.ppt

《【创新设计】2011届高三数学一轮复习 8.41 抛物线的简单几何性质课件 理 大纲人教版.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、掌握抛物线的简单几何性质第41课时抛物线的简单几何性质1．抛物线的简单几何性质标准方程图形对称轴焦点准线y2＝2px(p>0)x轴(，0)x＝－y2＝－2px(p>0)x轴x＝x2＝2py(p>0)y轴(0，)y＝－x2＝－2py(p>0)y轴y＝四种形式的标准方程的抛物线顶点都是原点，其离心率为e＝(－，0)(0，－)1定义：抛物线上任意一点M与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的．焦半径公式：抛物线y2＝2px(p>0)，PF＝x0＋2.抛物线的焦半径及其应用焦半径3．直线与抛物线的位置关系及判断方法(1)直线和抛物线有三种位置关系

2、：相交(两个公共点或一个公共点)；相离(无公共点)；相切(一个公共点)．(2)直线和抛物线的位置关系的判断：设直线方程：y＝kx＋m，抛物线方程：y2＝2px，两方程联立消去y可得方程：Ax2＋Bx＋C＝0，若A＝0，则直线与抛物线的对称轴平行或重合；若A≠0，其判别式为Δ＝B2－4AC.当Δ＞0时，直线与抛物线；当Δ＝0时，直线与抛物线；当Δ＜0时，直线与抛物线相离．相交相切1.已知方向向量为a=（1，2）的直线l与抛物线x2=4y相切，则切点坐标为（）A.（4，4）B.（2，1）C.（±2，1）D.（8，16）解析：本题考查了直线

3、方向向是的运用及导数的几何意义，由已知可得直线l的斜率为2，设切点坐标为（m,n），则切线斜率为y’x=m=m,验证可得选项为A答案：A2．过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于()A．2aB.C．4aD.解析：由y＝ax2知x2＝可以证明：答案：C点，则直线l的斜率的取值范围是()A．B．[－2,2]C．[－1,1]D．[－4,4]解析：Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y，整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4

4、k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1.答案：C3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共范围是()A．(－∞，0)B．(－∞，2]C．[0,2]D．(0,2)答案：B4．对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P(a，0)都满足PQ≥a，则a的取值对于过抛物线焦点的直线问题解决的方法有两种：(1)解析法；(2)几何法【例1】已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的倾斜角为α，点F为抛物线的焦点，求证：(1)y1y2＝－p

5、2，x1x2＝证明：(1)因为焦点坐标为F当AB不垂直x轴时，可设直线AB的方程为y＝k(k≠0)，由⇒ky2－2py－kp2＝0，所以y1y2＝－p2，x1x2＝当AB⊥x轴时，直线AB方程为x＝则y1＝p，y2＝－p⇒y1y2＝－p2，x1x2＝(2)因为而x1x2＝x1＋x2＝AB－p代入上式得为常数．(3)由(1)ky2－2py－kp2＝0，则Δ＝4p2＋4k2p2＝4p2(1＋k2)，AB＝变式1.已知过抛物线C：y2＝2px焦点F的直线与抛物线C相交于A、B两点，试证AB的最小值为2p.证明：设AF＝m，BF＝n，由例1知

6、∴则m＋n≥2p.当且仅当m＝n时，等号成立，因此过抛物线焦点F的弦长的最小值为2p(通径长)．可利用一元二次方程根与系数之间的关系和三点共线的条件构造关系进行求解和证明．【例2】设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O.证明：证法一：设直线AB：x＝my＋代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0.由韦达定理，得yAyB＝－p2，即yB＝－∵BC∥x轴，且点C在准线x＝－上，∴C则kOC＝故直线AC经过原点O.证法二：如图所示，记准线

7、l与x轴的交点为E，过A作AD⊥l，垂足为D.则AD∥EF∥BC.连结AC交于EF于N，则∵AF＝AD，BF＝BC，∴EN＝即N是EF的中点，从而点N与点O重合．故直线AC经过原点O.证法三：设A由AB过抛物线焦点F即FA与FB共线∵FA＝∴整理得∵y1≠y2，∴＝0即y1y2＝－p2.又OA＝∴OA∥OC，即AC经过原点O.变式2.已知抛物线y2＝2px(p＞0)，准线l与x轴交于N点，过焦点F作直线与此抛物线交于A，B两点，且使AB⊥AN，若M为B点在x轴上的射影，求证：AM＝BM.证明：证法一：设A、B两点的坐标为由直线AB过抛

8、物线y2＝2px的焦点F可推出y1y2＝－p2，M、N两点的坐标分别为则kAN＝取AB的中点C，则C点坐标为由y1y2＝－p2可得kAN＝kMC，∴直线MC为△ABM边AB上的中垂线，则AM＝BM.证法二：设A(x1，y