2011数学高考一轮复习课件导数在研究函数中的应用与生.ppt

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1、第十二节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、函数的单调性与导数在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减；如果，那么f(x)在这个区间内为常数.f′(x)＞0f′(x)＜0f′(x)＝01.若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0吗？f′(x)>0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0，f′(x)>0是f(x)

2、在(a，b)内单调递增的充分不必要条件.二、函数的极值与导数1.函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近其他点的]函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.f′(x)＜0f′(x)＞02.函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧，右侧，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极

3、大值.极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.f′(x)＞0f′(x)＜02.求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的.(2)将函数y＝f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.端点处的函数值f(a)、f(b)极值三、函数的最值1.如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条的曲线，那么它必有最大值和最小值.连续不断2.函数的极值和最值有哪些区别？提示：极值是指某一点附近函数值的比较，因此，同一函数在某一点的极大(小

4、)值，可以比另一点的极小(大)值小(大)；最大、最小值是指闭区间[a，b]上所有函数值的比较.因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值.1.当x＞0时，f(x)＝x＋的单调减区间是()A.(2，＋∞)B.(0,2)C.(，＋∞)D.(0，)解析：f′(x)＝1－，令f′(x)＜0，∴0＜x＜2，∴f(x)的减区间为(0,2).答案：B2.设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(

5、a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是()A.(a，b)B.(a，c)C.(b，c)D.(a＋b，c)解析：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知，1，－1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，则1－1＝，b＝0，故点(a，b)一定在x轴上.答案：A3.函数y＝x＋2cosx在[0，]上取得最大值时，x的值为()解析：法一：代入比较得最大.法二：y′＝(x＋2cosx)′＝1－2sinx，令1－2sinx＝0，且x∈[0，]时，x＝当x∈[0，]时，f′(x)≥0，f(x)是单调增函数；当

6、x∈[]时，f′(x)≤0，f(x)单调递减.∴f(x)max＝f().答案：B4.函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为.解析：∵f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，令f′(x)<0，得－1

7、.确定函数f(x)的定义域；2.求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实根；3.把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；4.确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.【注意】当f(x)不含参数时，也可通过解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)直接得到单调递增(或递减)区间.设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0).若曲线y＝

8、f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求：(1)a的值；(2)函数y＝f(x)的单调区间.(1)利用切线斜率求a的值，(2)利用f′(x)>0(a<0)求单调区间.【解】(1)∵f(x)＝x3＋ax2－9x－1，∴f′(x)＝3x2＋2ax－9＝即当x＝－时，f′(x)取得最小值－9－∴－9－＝－12，即a2＝9.解得