施图姆-刘维尔本征值问题.ppt

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1、§9.4施图姆-刘维尔本征值问题引言：常微分方程的本征值问题对一般(二阶常微分)方程y"+a(x)y'+b(x)y+λc(x)y=0总可以化为施图姆-刘维尔型方程：也可以写成施图姆-刘维尔本征值问题构成施图姆-刘维尔(Sturm-Liouville)本征值问题(本征值的全体称为给定问题的“谱”)。例：(1)a=0，b=l，k(x)=常数，q(x)=0，ρ(x)=常数λ为本征值；ρ(x)为权重因子(权函数)(2)a=-1，b=1，k(x)=1-x2，q(x)=0，ρ(x)=1(3)a=-1，b=1，k(x)=1-x2，q(x)=m2/(1-x2)，ρ(

2、x)=1(4)a=0，b=ξ0，k(ξ)=ξ，q(ξ)=m2/ξ，ρ(ξ)=ξ贝塞尔方程(本征值问题参阅11章详细讨论)(5)a=-∞，b=+∞，k(x)=，q(x)=0，ρ(x)=(即厄米特方程y"-2xy'+λy=0)(见P409)(6)a=0，b=+∞，k(x)=，q(x)=0，ρ(x)=(即拉盖尔方程xy"+(1-x)y'+λy=0)(见P411)注意：①以上各例中，k(x)、q(x)和ρ(x)在区间(a，b)上都取正值；②关于自然边界条件是否存在：如端点a或b是k(x)的一阶零点，在该端点就存在自然边界条件(参阅P214)；如果端点变为∞，

3、则要求未知解在x→∞时有界，或者趋向于与x的有限次乘幂的同阶无穷小。二、施图姆-刘维尔本征值问题的性质：共同条件：k(x)、q(x)、ρ(x)≥0定理1：k(x)、k'(x)、q(x)在(a，b)上连续，且最多以x=a，x=b为一阶极点，则存在无限多个本征值λ1≤λ2≤λ3≤λ4≤...λn≤...且λn≥0n=1，2...相应有无限多个本征函数y1(x)、y2(x)、y3(x)、y4(x)...证明λn≥0n=1，2...设：本征值λn对应的本征函数为yn，是方程的根。则讨论：对第一、第二类边界条件：对第三类边界条件：上式大于零(见P216)，因为

4、第一项同理第二项得λn≥0定理2：相应于不同本征值λn的本征函数yn(x)在区间[a、b]上带权重正交，即证明：两式分别乘以yn、ym，相减逐项积分讨论(证明同上)：此项为零又定理3：所有的本征函数y1(x)、y2(x)...是完备的，即若函数f(x)满足广义的狄里希利条件：(1)具有连续一阶导数和逐段连续二阶导数；(2)满足本征函数族yn(x)(n=1、2、...)所满足的边界条件，则必可展为绝对且一致收敛的广义傅立叶级数fn称为广义傅立叶系数；其中模方证明：当m=n时，正交关系和模是今后研究特殊函数的两个重要问题关于归一化问题：对{yn}，当Nn

5、>1时，可{yn/Nn}用作为新的本征函数族，即归一化本征函数族。正交关系复数本征函数族一般定义：模：正交关系：广义傅里叶级数及系数公式：例：对考虑，(参见P2139.4.2式)正交关系：