2011高考数学一轮复习 正弦定理和余弦定理课件.ppt

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1、第七节正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容a2＝；b2＝；c2＝.一、正、余弦定理b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC定理正弦定理余弦定理变形形式①a＝，b＝，c＝；(其中R是△ABC外接圆半径)③a∶b∶c＝④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA.2RsinA2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC定理正弦定理余弦定理解决的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.

2、在△ABC中，sinA>sinB是A>B的什么条件？提示：充要条件.A为锐角A为钝角或直角图形关系式aba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解二、在△ABC，已知a,b和A解三角形时，解的情况如下：1.已知锐角△ABC的面积为，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()A.75°B.60°C.45°D.30°解析：由题知，答案：B2.在△ABC中，若则AB＝()A.3B.4C.5D.6解析：因为所以由正弦定理可得答案：C3.(2010·惠州模拟)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若(a2＋c2－b2)则角B的值

3、为()或或解析：∴结合已知等式得cosB·tanB＝答案：D4.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4bsinA，则cosB＝.解析：因为a＝4bsinA⇒＝4b，由正弦定理知sinB＝，cosB＝答案：5.已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为.解析：如图所示，B＝60°，AB＝1，BD＝2.由余弦定理知答案：1.已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断.2.三角形中常见的结论(1)A＋B＋C＝π.(2)在三

4、角形中大边对大角，反之亦然.(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.(4)三角形内的诱导公式sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sincos(5)在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.=sin(2009·湖北高考)在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且(1)确定角C的大小；(2)若c=且△ABC的面积为，求a＋b的值.首先利用正弦定理把边转化为角，求角C，再利用面积公式可求得ab，结合余弦定理得出结论.【解】(1)由及正弦定理得，∵△ABC是锐角三角形，(

5、2)法一：∵由面积公式得即ab＝6.①由余弦定理得由②变形得(a＋b)2＝3ab＋7.③将①代入③得(a＋b)2＝25，故a＋b＝5.法二：前同法一，联立①、②得消去b并整理得a4－13a2＋36＝0，解得a2＝4或a2＝9.所以或1.(2010·深圳调研)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且a＝4，C＝2A，cosA=(1)求sinB；(2)求b的长.解：(1)∵A、C为△ABC内角，cosA=∴sinA＝又∵C＝2A.∴sinC＝sin2A＝2sinA·cosA＝cosC＝cos2A＝2cos2A－1＝∴sinB＝sin(A＋C)＝sinA·cosC＋s

6、inC·cosA（2）由可得b=a=4依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：1.利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2.利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.【注意】在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，

7、判断三角形的形状.利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系.【解】法一：已知等式可化为a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA.由正弦定理，得sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA，∴sinAsinB(sinAcosA－sinBcosB)＝0，∴sin2A＝sin2B，由0<2A<2π，0<2B<2π得2A＝2B或2A＝π－2B，即△ABC为等腰或直角三角形.法二：同法一