高考数学难点突破18不等式的证明策略大智学校山东最大的小班一对一辅导机构大智学校资.doc

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1、难点18不等式的证明策略不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历來是高中数学屮的一个难点，木难点看重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力••难点磁场(★★★★)已知d>0,b>0,且a+b=1.i125求证：(a+-)(fo+-)^—.ab4•案例探究［例1］证明不等式1+-^+〒+・・・+-t^a/2V3命题意图：木题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考杳学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力，属卄★★★级题目.知识依托：木题是一个与自然数

2、〃有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明屮的放缩法、构造法等.错解分析：此题易出现下列放缩错误：1+丄•)厶亠…+2<丄+丄+…+丄-•壬=庙V2皿.罷屈JtvvT这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的.技巧与方法：木题证法一采用数学归纳法从〃以到〃=好1的过渡采用了放缩法；证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达bl标；而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心,发人深省.证法一：(1)当〃等于1时，不等式左端等于1,右端等于2,所以不等式成立；(2)假设心(Q1)时,不等式成立,V273<2a/T,贝lj]H

3、—-=H-=H1—/<1yj~kH,a/2V3VThVFh_2』k(k+)+1o,2』1伙+1)+1<2伙+1),•・•ylk+1>0,2yl~k乂如：•••2VTT1-2y[k=(—_,_■J/c+l+JkJ/c+l+Jk+l24k+^^<2ylk+.V/F+i证法二：对任意RWN：都有:1_22y/~ky[k4-y[k[k+

4、Jk_=2(VT-VT^I),因止匕1+f+〒+•••+=Va/2V34n2+2“-1)+2(巧-Q+・..+2(侖-JT二1)=2丽证法三:设问=2丽7+护咅+...+却,那么对任意*都有:/伙+1)-/伙)=2(y/k+1-4k)-VTTT币[2(2)-2吋T>0・・・.飛+1)>/伙)因此，对任意都有和)>和一1)>・・・>./(1)=1>0,1115/2yj3yfn<2a/h.[例2]求使坂+77WaJx+y(x>0,y>0)恒成立的a的最小值.命题意图：木题考杏不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力，属于★★★★★级题目.知识

5、依托：该题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式屮,因此需利用不等式的有关性质把d呈现岀来，等价转化的思想是解决题1=1的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.错解分析：木题解法三利用三角换元示确定Q的取值范围，此时我们习惯是将X、)，与cos〃、sin〃来对应进行换元，即令4x=cos〃，^fy=sin〃(0<彳)，这样也得aNsin0+cos”，但是这种换元是错误的•其原因是:(1)缩小了x、y的范围;(2)这样换元相当于本题又增加了“X、)=1”这样一个条件，显然这是不对的.技巧与方法：除了解法一经常用的重要

6、不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数d满足不等关系，a2fM，贝I」如冷>人曲若dW/W，贝[J利用这—基木事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题.还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化.解法一：由于Q的值为正数，将已知不等式两边平方，得：x+y+2y[xy勺匕+)；),即2y[xyW(/—l)(x+y),①.•.x,)>0,/.x+y^2y[xy,当且仅当x=)，时，②中有等号成立.比较①、②得a的最小值满足1=1,・・./二2,a=V2（因a>0）,・・・4的最小值是血.解法二:兀+y+9x+yVx>0,y>0,

7、.x+y^2y[xy（当x=y时成立）,••暫勺，辽的最大值是I.x+yx+y从而可知，“的最大值为vm=42,又由已知，得:.a的最小值为血.解法三：・・j>o,・••原不等式可化为g+10,设—=tan,0e（0,—）.V-V2/.tan〃+1Wajkin?0+1；即tan〃+lWasecB.•.aMsin〃+cos^=^2sin（“+—），③4又・・・sin（〃+兰）的最大值为1（此时0=-）.44由③式可知67的最小值为VL•锦喪妙计1•不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基木的方法.⑴比较法证不等式有作差

8、（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式了可以整理为关于某一个变