代表名额的分配.ppt

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1、代表名额的分配一.问题与背景1.问题：美国众议院如何根据各州人口的比例分配众议院议员的名额。s:州数,pi:第i州人口数,p=Σpi:总人口数N:议员数,ni:第i州议员数,N=Σni.根据按人口比例分配的原则给出公平的议员席位分配的方案{n1,…,ns}.qi=(pi/p)N:第i州应占有的议员的份额.求{ni}，与{qi}最接近。二.背景1787年美国颁布宪法,规定“众议院议员的名额…将根据各州的人口比例分配”,并于1788年生效.1791年AlexanderHamilton提出了议员席位分配的方法,并于1792年通过.1792年ThomasJefferson提出了议员席位分配的除子法。1

2、851年开始用Hamilton法分配议员的席位。1881年当议会的总席位由299席变为300席时，各州的人口数都没有变化，重新调整议员席位的结果却使Alabama州的议员席位从8人减少为7人。这就是著名的Alabama悖论后来，1890年人口普查之后，在各州人口数没有改变的情况下，当总席位由359席增加到360席时，Arkensas州的议员的席位又丢掉了一个。Maine州也出现了类似的情况。1910年，Hamilton的分配方法被停止使用了。1920年，Harvard大学的数学家EdwardHuntington，JosephHill开始研究这个问题。1941年，基于代表性不公平度的数学模型，他

3、们提出了EP（EqualProportions）法，用以分配议员的席位。并且由Roosevelt总统将它写入了法律，至今仍然延用。1970年MichaelBalinsky&PeytonYoung进一步研究。1980年提出了著名的Balinsky&Young不可能定理。二.Hamilton法及有关悖论1.Hamilton法：记[qi]=intqi,则有qi-1<[qi]qi,N-s<Σ[qi]≤N.若等号成立,则有ni=qi=[qi].否则,有Σ[qi]

4、],i=k+1,…,s2.有关悖论10.Alabama悖论:人口不变,总席位增加导致某州席位减少.例1.P=200,s=3,N=20州pipi/pqiniA1030.51510.310B630.3156.36C340.1703.4420.人口悖论:人口增长,分额增加的州可能失掉席位.例2.P=1000,s=3,N=3州pipi/pqiniA4200.4201.2601B4550.4551.3651C1250.1250.375130.新州悖论:原州人数不变,增加新州(人数增),席位按比例增,将导致原州席位减少.例3.p=1000,s=2,N=4;p’=1200,s’=3,N’=5州piqiniA

5、6232.4922B3771.50823.Hamilton法的数学模型q=(q1,…,qs)T:份额向量,1Tq=Σqi=Nn=(n1,…,ns)T:分配向量,1Tn=Σni=N它们均位于s维空间的s-1维单形(s维空间的超平面)中.对于s=3的情形:经变形,有10.n,q是高为N的正三角形上的点，该点到三个边的距离为它们的坐标。20.将三角形各边N等分，分别以平行各边的直线连接相应的等分点。连线在三角形内的交点将是三角形上有整数坐标的格点，这些点构成席位分配向量的集合{n}。30.连线将三角形分为若干小三角形。份额向量q为三角形上任意一点。该点到它所在的小三角形三个边的距离分别为三个坐标的小

6、数部分。40.按照最大小数部分增加一个席位的H法相当于在q所在的小三角形中选择最靠近q点的顶点（格点n）为席位分配方案。50.Hamilton分配域：作小三角形内心，则可以构成以n为心，以上述若干内心为顶点的正六边形。如果q落入某个小六边形内，则选择该六边形的中心n为席位的分配方案。三.Jefferson的除子法考虑Σqi=N且Σ[qi]

7、511B636.366.6157C343.443.5703λ=0.92qi*niqi*niA10311.21111.7511B636.867.197C343.433.883例5.P=1000,s=3,N=3州piqinipiqiniA4201.26014301.171B4551.36515201.422C1250.37511500.410λ=0.65qi*nipiqi*niA4201.931430