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1、公平的席位分配1.问题：美国众议院如何根据各州人口的比例分配众议院议员的名额。m:州数,pi:第i州人口数,p=Σpi:总人口数N:议员数,ni:第i州议员数,N=Σni.qi=(pi/p)N:第i州应占有的议员的份额.根据按人口比例分配的原则给出公平的议员席位分配的方案{n1,…,nm}，即ni尽可能地接近其应得的份额qi.美国宪法自1788年生效开始之日起，其第1条第2款就明确指出：“众议院议员名额······将根据各州的人口比例分配。”200年以来，关于“公正合理”地实现宪法中所规定的分配原则，美国的政治家和科
2、学家们展开了激烈的争论，虽然设计了多种方案，但没有一种得到普遍认可······。一.问题与背景2.背景1787年美国颁布宪法,规定“众议院议员的名额…将根据各州的人口比例分配”,并于1788年生效.1791年AlexanderHamilton（财政部长）提出了议员席位分配的方法,并于1792年通过。1792年ThomasJefferson提出了议员席位分配的除子法。1851年开始用Hamilton法分配议员的席位。1881年当议会的总席位由299席变为300席时，各州的人口数都没有变化，重新调整议员席位的结果却使Al
3、abama亚拉巴州的议员席位却从8人减少为7人。这就是著名的Alabama悖论后来，1890年人口普查之后，在各州人口数没有改变的情况下，当总席位由359席增加到360席时，Arkensas州的议员的席位又丢掉了一个。Maine州也出现了类似的情况。1910年，Hamilton的分配方法被停止使用了。1920年，Harvard大学的数学家EdwardHuntington，JosephHill开始研究这个问题。1941年，基于代表性不公平度的数学模型，他们提出了EP（EqualProportions）法，用以分配议员的
4、席位。并且由Roosevelt总统将它写入了法律，至今仍然延用。1970年MichaelBalinsky&PeytonYoung进一步研究，提出公理准则体系。1980年提出了著名的Balinsky&Young不可能定理。二：Hamilton(比例加惯例)方法已知:m方人数分别为p1,p2,…pm,记总人数为p=p1+p2+…+pm,待分配的总席位为N。记qi=Npi/p,称为第i方的份额(i=1,2,…m)各方先分配qi的整数部分[qi],总余额为记ri=qi-[qi],则第i方的分配名额ni为要求已知份额向量q=(
5、q1,…,qm),找一个整数分配向量n=(n1,…,nm),N=n1+n2+…+nm，使n与q最接近。问题Hamilton法（比例加惯例）及有关悖论系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲10351.5乙6331.5丙3417.0总和200100.020.02021席的分配比例结果10.8156.6153.57021.00021例子三个系学生共200名(甲100，乙60，丙40)，代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10,6,4席.因学生转系,三系人数为103,63,34,如何分配20席?若代表会议增加1席
6、，如何分配21席?比例加惯例对丙系公平吗系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲10351.510.3乙6331.56.3丙3417.03.4总和200100.020.020系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲10351.510.310乙6331.56.36丙3417.03.44总和200100.020.02021席的分配比例结果10.815116.61573.570321.00021Hamilton方法的不公平性1.Alabama悖论：p1,p2,…,pm不变,N的增加会使某个ni减少（上例）。2.人口
7、悖论：N不变,pi比pj的增长率大,反使ni减少nj增加(例1)。3.新州悖论：p1,p2,…pm不变,m增加1,N的增加会使某个ni增加而某个ni减少(例2)。pinii=110310i=2636i=3344总和20020pi114(+10.6%)6338(+11.8%)215qi10.605.863.5420ni116320pi10363346206qi10.506.423.470.6121ni1163121例1例2衡量公平分配的数量指标人数席位A方p1n1B方p2n2当p1/n1=p2/n2时，分配公平p1/n
8、1–p2/n2~对A的绝对不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5但后者对A的不公平程度已大大降低!虽二者的绝对不公平度相同若p1/n1>p2/n2，对A不公平p1/n1–p2
