运筹学课件 第三节 影子价格.ppt

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1、第三节影子价格对偶问题解的经济解释——影子价格我们已经明白原始线性规划与对偶线性规划之间形式上的对偶以及他们解之间的关系，那么对偶问题的解除了前面引例中提到的租金这种经济含义外其深刻的经济含义是什么呢？线性规划的对偶理论对偶问题解的经济含义分析：从单纯形法的矩阵描述中，目标函数取值Z=CBB-1b，和检验数CN-CBB-1N中都有乘子Y=CBB-1。由强对偶定理知Z*=CX*=CBB-1b=Y*b=W*由此Z*=Y*b=b1y1+b1y2+…bmymZ*biZ*bi（Y*b）bi=CBB-1=Y*或==yi*线性规划的对偶理

2、论对偶问题解的经济含义：由上面分析——对偶问题解中变量yi*的经济含义是在其他条件不变的情况下，单位第i种“资源”变化所引起的目标函数最优值的变化。所以，yi*描述了原始线性规划问题达到最优时（各种“资源”都处于最优的配置时），第i种“资源”的某种“价值”，故称其为第i种“资源”的影子价格。下面图解阐述影子价格的直观含义：线性规划的对偶理论影子价格我们首先采用单纯形法求解得王老板的家具生产模型（P）的最优解、最优基矩阵如下（P）的最优解为X*=（15，20，0，0）TB=（p2，p1）=412（D）的最优解为Y*=CBB-1=（5，15

3、）CB=（C2，C1）=（30，50）B-1=1-2-1/23/2（P）maxZ=50x1+30x2s.t.4x1+3x2≤1202x1+x2≤50x1，x2≥0Z*=1350Y*=(5,15)线性规划的对偶理论影子价格王老板的家具生产模型的图解：x1x2P可行域1350=50x1+30x2（15，20）（P）maxZ=50x1+30x2s.t.4x1+3x2≤1202x1+x2≤50x1，x2≥0Z*=1350Y*=(5,15)2x1+x2=504x1+3x2=120L0：50x1+30x2线性规划的对偶理论影子价格的直观含义：x1x

4、24x1+3x2=1202x1+x2=50L0：50x1+30x2P可行域（P）maxZ=50x1+30x2s.t.4x1+3x2≤1202x1+x2≤50x1，x2≥0Z*=1350Y*=(5,15)2x1+x2=514x1+3x2=1211365=50x1+30x21355=50x1+30x2线性规划的对偶理论影子价格的特点：影子价格是对偶解的一个十分形象的名称，它既表明对偶解是对系统内部资源在当前的最优利用配置下的一种客观估价，又表明它是一种虚拟的价格（或价值的影象）而不是真实的价格。特点1、影子价格是对系统资源的一种内部最优估价

5、，只有当系统达到最优状态时才可能赋予资源这种价值。系统资源的一种动态价格体系，影子价格的大小与系统的价值取向有关，并受系统状态变化的影响。系统环境的任何变化都可能会引起影子价格的变化。线性规划的对偶理论影子价格的特点：特点2、影子价格是一种边际价值，其与经济学中的边际成本的概念相同。因而，在经济管理有中十分重要的应用价值。企业管理者可以根据资源在企业内部的影子价格的大小决定企业的经营策略。影子价格yi相当于在资源得到最优利用的生产条件下，资源bi每增加一个单位，目标函数z的增量。特点3、影子价格的大小客观地反映资源在系统内的稀缺程度。如

6、果某种资源在系统内供大于求，尽管它有实实在在的市场价格，但它在系统内的影子价格却为零，而影子价格越高，资源在系统内越稀缺。当影子价格高于市场价格，应该买进资源；当影子价格低于市场价格，应该卖出资源；设备A:y1=0设备B:y2=0.25调试C:y3=0.5特点4、表明生产过程中该种资源的影子价格不等于0，表明生产过程中资源得到充分利用。如果某种资源未得到充分利用，该种资源的影子价格=0；特点5、从影子价格考察单纯形表的计算。Cj代表第j种产品的产值，是生产该种产品所消耗各项资源的影子价格的总和，即产品的隐含成本。当产品产值大于隐含成本时

7、，表明生产该产品有利。当产品产值小于隐含成本时，表明用资源生产别的产品有利。第四节对偶单纯形法一、对偶单纯形法的基本思路对偶单纯形法是应用对偶原理求解线性规划的一种方法——在原问题的单纯形表上进行对偶处理。注意：不是解对偶问题的单纯形法！1、单纯形法求解初始可行基（对应一个初始基可行解）→迭代→另一个可行基（对应另一个基可行解），直至所有检验数≤0为止。所有检验数≤0意味着，说明原问题的最优基也是对偶问题的可行基。换言之，当原问题的基B既是原可行基又是对偶可行基时，B成为最优基。补充定理B是线性规划的最优基的充要条件是，B是可行基，同时

8、也是对偶可行基。单纯形法的求解过程就是：在保持原问题可行的前提下（b列保持≥0），通过逐步迭代实现对偶可行（检验数行≤0）。2、对偶单纯形法思想：换个角度考虑LP求解过程：保持对偶可行的前提下（检验数行保持