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《高中数学 1.3.2奇偶性(第1课时函数奇偶性的概念)课件 新人教A版必修1.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.3.2奇偶性(第1课时 函数奇偶性的概念)2021/9/211研修班2021/9/212研修班2021/9/213研修班1.若奇函数f(x)在x=0处有意义,则f(0)是什么?【提示】由奇函数定义,f(-x)=-f(x),则f(-0)=-f(0),∴f(0)=0.2.奇(偶)函数的定义域有什么特点?这种特点是怎样影响函数的奇偶性的?2021/9/214研修班【提示】(1)偶函数(奇函数)的定义中“对D内任意一个x,都有-x∈D,且f(-x)=f(x)(f(-x)=-f(x))”,这表明f(-x)与f(x)都有意义,即x
2、、-x同时属于定义域.因此偶(奇)函数的定义域是关于坐标原点对称的.也就是说,定义域关于坐标原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.(2)若函数的定义域不关于原点对称,则函数既不是奇函数也不是偶函数.2021/9/215研修班2021/9/216研修班2021/9/217研修班(3)函数f(x)的定义域为{x
3、x≠-3};定义域不关于原点对称,∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.判断函数的奇偶性,一般有以下几种方法:①定义法:若函数定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数;若函数定义域关于原点对称,则应进一步判断f(-x
4、)是否等于±f(x),或判断f(-x)±f(x)是否等于0,从而确定奇偶性.2021/9/218研修班②图象法:若函数图象关于原点对称,则函数为奇函数;若函数图象关于y轴对称,则函数为偶函数.另外,还有如下性质可判定函数奇偶性:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数,奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注:利用以上结论时要注意各函数的定义域)2021/9/219研修班2021/9/2110研修班2021/9/2111研修班(3)x∈
5、R,f(-x)=
6、-x+2
7、-
8、-x-2
9、=
10、x-2
11、-
12、x+2
13、=-(
14、x+2
15、-
16、x-2
17、)=-f(x),∴f(x)是奇函数.2021/9/2112研修班【思路点拨】由题目可获取以下主要信息:①已知函数为分段函数;②判断此函数的奇偶性.解答本题可依据函数奇偶性的定义加以说明.【解析】(1)当x<0时,-x>0f(-x)=-(-x)2+(-x)-1,=-x2-x-1=-(x2+x+1)=-f(x)(2)当x>0时,-x<0f(-x)=(-x)2+(-x)+1=-(x2+x-1)=-f(x)综上f(-x)=-f(x)∴f(
18、x)是奇函数2021/9/2113研修班(1)对于分段函数奇偶性的判断,须特别注意x与-x所满足的对应关系,如x>0时,f(x)满足f(x)=-x2+x-1,-x<0满足的不再是f(x)=-x2+x-1,而是f(x)=x2+x+1;(2)要对定义域内的自变量都要考察,如本例分为两种情况,如果本例只有(1)就说f(-x)=-f(x),从而判断它是奇函数是错误的、不完整的.(3)分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图象的对称性加以判断.2021/9/2114研修班【解析】①当x>0时,-x<0f(-x)=-x-2=f(x)②当
19、x<0时,-x>0f(-x)=-(-x)-2=x-2=f(x)③当x=0时,f(-x)=0=f(x)∴f(x)是偶函数.2021/9/2115研修班已知函数f(x)不恒为0,当x、y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).求证:f(x)是奇函数.【思路点拨】令x=y=0―→求f(0)―→令y=-x―→f(-x)=-f(x)―→结论【证明】函数定义域为R,其定义域关于原点对称.∵f(x+y)=f(x)+f(y),∴令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x),再令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=
20、0,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.2021/9/2116研修班抽象函数奇偶性的判定通常用定义法,主要是充分运用所给条件,想法寻找f(x)与f(-x)之间的关系,此类题目常用到f(0),可通过给式子中变量赋值,构造出0,把f(0)求出来.3.本例中,若将条件“f(x+y)=f(x)+f(y)”改为f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y),其余不变,求证f(x)是偶函数.2021/9/2117研修班【证明】令x=0,y=x,则f(x)+f(-x)=2f(0)·f(x)①又令x=x,y=0得f(x)+f(
21、x)=2f(x)·f(0)②①②得f(-x)=f(x)∴f(x)是偶函数.2021/9/2118研修班1.准确理解函数奇偶性定义(1)①偶函数(奇函数)的定义中“对D内任意一个x,都有-x∈D,且f(-x)=f(x)(f(-x)=-f(x))”,这表明f(-x)与f(x)都有意义,即x、-x同时属于定义
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