青年讲座陆俊图说投影.ppt

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1、图说投影陆俊青年论坛科普讲座2013年4月3日圆圈到直线的投影N映到1:1映射1.球极投影北极点南极点圆圈直线球面到平面的投影N映到1:1映射S2球面P平面圆圈到直线的投影(极点:O)Q1,Q2映到2:1映射（二次覆盖）2.改变极点位置空间曲线到平面曲线的投影CC’P1,P2映到P’几乎1:1映射(除了P1,P2外)3.空间曲线的投影空间曲线到平面曲线的投影CC’1:1映射，OP与C相切结点：x2-y2=0(局部坐标（x,y）)（普通）尖点：x2-y3=0C:空间曲线，O:极点，投影CC’曲线一般投影定理:O的位置充分一般4.曲线一般投影定理C’

2、只含有结点曲面到平面投影SP(极点O取）几乎2：1映射（二次覆盖）Q’:分歧点5.曲面投影平面原像仅有一点Q分歧轨迹R’:分歧点全体带结点的二次覆盖平面几乎3:1投影（三次覆盖）简单分歧点Q’:原像仅有两点Q1,Q2三重分歧点T’:原像仅有一点TKn:n维空间,Kn-1子空间(K复数域…)r维几何图形极点O的投影压缩背景空间的维度6.高维投影X空间压缩投影会挤压出“奇点”四维空间中的球复变函数图y2=x三维空间中的压缩像克莱因瓶压缩至3维空间中的示意模型实射影平面压缩至3维空间中的示意模型X:r维图形，Kn：n维空间若n>2r+1,则X可压缩成K2r

3、+1中的光滑图形（即无“奇点”）曲线可压缩成K3中的光滑曲线曲线压缩到K2最多出现结点（见前）曲面可压缩成K5中的光滑曲面S:K5中的曲面，O极点.一般投影(O的位置充分一般）S’:一般曲面（含有非正常二重点）7.曲面的一般投影非正常二重点示意图S’:K4中的一般曲面，O极点.一般投影(O的位置充分一般）S’’有三类奇点:结点三重点拧点曲面一般覆盖:S到平面P的一般投影S在每点附近的投影局部近似成：平面、平面二次覆盖或上述平面三次覆盖分歧轨迹B:不可约尖点曲线（即只含结点和尖点）尖点个数c，结点个数n,B的次数d.c,d,n有很强限制条件.比如:c是3

4、的倍数，n是4的倍数，尖点曲线示意图Chisini猜想:次数>4的曲面一般覆盖由分歧轨迹唯一确定.（Kulikov2008证明该猜想）.反例（Catanese，Chisini）:4次覆盖，Veronese曲面S黎曼存在性问题:给定曲线B,是否存在曲面一般覆盖,恰以B为分歧轨迹?寻找刻画B的适当条件。（Enriques,Segre,Chisini,Friedman,Teicher，Tan…）曲线的黎曼存在性定理（Riemann拓扑条件—基本群与单值)多项式:f(x,y)=yd+a1(x)yd-1+…+ad(x).代数曲线C：满足f=0的点集(x,y).(

5、几何观点)投影p:CL,(x,y)x.L：直线p:d次覆盖8.多项式函数与投影（函数观点）多值函数y=y(x),(方程观点）f(x,y)=0关于y有d个根（投影)分歧点=(函数)支点=（多项式）重根点x绕支点转一周后,根的顺序发生变化单值：环路r映到置换分歧点p1,…,ps,L直线基本群到置换群rThankYou!