现代数学基础 习题与解答.doc

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1、现代数学基础习题解答目录现代数学基础习题解答11集合与映射22实数集的紧理论43闭区间上连续函数性质64Lebesgue可测集75Lebesgue可测函数86Lebesgue积分的定义及性质147距离空间的基本概念168距离空间屮的点集269距离空间的完备性2610赋范线性空间的基本概念2611群的基本概念3412环与域的基本概念40-51集合与映射1证明(-1,1)-R，其屮/?为实数集。证明:设/a{xIxg(-191)}xR,(x,j)gf当且仅当y=X.容易验证，/是双射。所以（一1,1）〜/?。2证明：如果M是无限集，A是可数集合，则M-MuA.证明：不失一般性，设Mc4

2、=0>。由于M是无限集，故M存在可数子集，设M'是M的可数子集，则MMuA=（M—M'）u（M，u4）,且（M-AT）cAT=（Af-Af9n（MruA）=

3、D、Q‘为可数集，记zr=匕,“2,…心，…｝，°90=｛务辺2,・・・心,・・｝，令/*:D->[O,1]为:，兀"“xeD-D9易知/为双射,故D-[0,1]o4证明：[0,1]-（0,1）o证明：注意到：[0,1]=（0,l）o{0,1}由于区间（0,1）是无限集，故（0,1）存在可数无线集，记为人=匕皿2,…皿”，…则（0,l）=（（0,l）-A）kjA,[0,1]=（（0,1）-A）uAkJ{0,1}且（（0,1）-A）nA=

4、a”x,xg（0,1）-A易知/为双射,故[0,1卜（0,1）。5证明:证明:Q"={（厂1“2,••"）：，：G2,1^1^71}是可列集合。是死个可数集的并,注意到：Q"=UU…U{（“,・5）}20匕垃1rneQ））因此Q"是可列集合。2实数集的紧理论1设⑴A=,则infA=0,（2）B={y:y=sinx9xg（0,^）},则infB=0,supB=102设EcR1.7z=supE,则3{xn}cE,使得{xn}^h.证明：由于h=supE,故对PnwN、3xngE,使得h-—

5、7,则infEj>infE2,supEt0,3xgE{使得有xinfE2。同理可得：supE;Msup£*2。4设E^R1有上（或下）确界，则英上（或下）确界必唯一。一方面，由于h=supE,故对>0,BxgE,使得h-£

6、明:设{xja/f7单增、有上界,即xn0,使得xn03xneE,使得jcn+£>h，由于{xn}cR1单増，故当n2N时，jc“+£2x“+£>h，即HN>0,当n>N时，有0hon->ao同理：{x^qR1单增、有下界,则{xj->inf{xn}o6令©=££'运用CMC勿收敛准则证明：&“｝发散。k=lk证明：由Cauchy收敛准则，只证｛工“

7、｝不是Cauchy点列。由于卜2”_工”2n2n_1故｛孔｝发散。3闭区间上连续函数性质-11设连续函数列｛/n(x)｝在区间b，"上一致收敛于函数y(x),bb证明：limJfn(x)rfx=Jf｛x)dx。aa证明：由于连续函数列｛/M(x)｝在区间［d,对上一致收敛于函数/(x),故对V^>0,av>o,使得fiZN时，对Vxg有于是，当n^N时，J/n(x)rfx-j/(x)rfx=f[A(x)-/(x)]rfxaa訂

8、/“G)-/(•+兀<(b-a)-=e，